Задача 376. a)
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Пусть угол $A$ равен $84^\circ$, тогда угол $B$ равен $180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$. Углы, лежащие напротив, в параллелограмме равны. Значит, угол $C$ равен углу $A$ и равен $84^\circ$, угол $D$ равен углу $B$ и равен $96^\circ$.
**Ответ:** $\angle A = \angle C = 84^\circ$, $\angle B = \angle D = 96^\circ$.
Задача 376. б)
Пусть угол $A$ равен $x$, тогда угол $B$ равен $x - 55^\circ$. Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, то $x + x - 55^\circ = 180^\circ$. Отсюда $2x = 235^\circ$, $x = 117,5^\circ$. Значит, угол $A$ равен $117,5^\circ$, угол $B$ равен $117,5^\circ - 55^\circ = 62,5^\circ$. Углы, лежащие напротив, в параллелограмме равны. Значит, угол $C$ равен углу $A$ и равен $117,5^\circ$, угол $D$ равен углу $B$ и равен $62,5^\circ$.
**Ответ:** $\angle A = \angle C = 117,5^\circ$, $\angle B = \angle D = 62,5^\circ$.
Задача 376. в)
Сумма всех углов параллелограмма равна $360^\circ$. Углы, лежащие напротив, в параллелограмме равны. Значит, углы $A$ и $C$, $B$ и $D$ попарно равны. Тогда $\angle A + \angle C + \angle B + \angle D = 2(\angle A + \angle B) = 360^\circ$, $\angle A + \angle B = 180^\circ$. По условию $\angle A + \angle C = 142^\circ$, значит $\angle A = \angle C = 71^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$. Угол $D$ равен углу $B$ и равен $109^\circ$.
**Ответ:** $\angle A = \angle C = 71^\circ$, $\angle B = \angle D = 109^\circ$.
Задача 376. г)
Пусть угол $B$ равен $x$, тогда угол $A$ равен $2x$. Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, то $2x + x = 180^\circ$. Отсюда $3x = 180^\circ$, $x = 60^\circ$. Значит, угол $B$ равен $60^\circ$, угол $A$ равен $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Углы, лежащие напротив, в параллелограмме равны. Значит, угол $C$ равен углу $A$ и равен $120^\circ$, угол $D$ равен углу $B$ и равен $60^\circ$.
**Ответ:** $\angle A = \angle C = 120^\circ$, $\angle B = \angle D = 60^\circ$.
Задача 377.
**Допущение:** $MNPQ$ - прямоугольник.
$MH$ - высота, проведённая к стороне $MQ$. $MNH = 30^\circ$. В прямоугольнике все углы прямые, поэтому $\angle M = 90^\circ$. Рассмотрим треугольник $MNH$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle HMN = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Значит, $MN = 2 \cdot MH = 2 \cdot 3 = 6$ см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MNQ$. В нём $MQ$ — гипотенуза, а $MN$ — катет. $MQ = \sqrt{MN^2 + NQ^2}$. Так как $MNPQ$ - прямоугольник, то $NQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см. Тогда $MQ = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
**Ответ:** $MN = 6$ см, $MQ = 10$ см.
Задача 378.
Параллелограмм называется выпуклым четырёхугольником, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. То есть, если взять любую сторону параллелограмма и провести через неё прямую, то весь параллелограмм должен оказаться по одну сторону от этой прямой. Это свойство выполняется для любого параллелограмма, так как противоположные стороны параллельны и не пересекаются.
Чтобы доказать, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником, нужно доказать, что диагонали параллелограмма лежат внутри него и не пересекают его стороны. Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то углы, образованные диагоналями, меньше $180^\circ$. Значит, диагонали лежат внутри параллелограмма и не пересекают его стороны. Следовательно, параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
