Докажи, что четырёхугольник BMDK - параллелограмм в задаче 479

479. Давай докажем, что четырёхугольник $BMDK$ — параллелограмм. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Также, $AB \neq BC$ (по условию). $BK$ и $DM$ перпендикулярны $AC$, то есть $\angle BKA = \angle DMA = 90^\circ$. Рассмотрим треугольники $\triangle BKA$ и $\triangle DMA$. У них: 1. $\angle BKA = \angle DMA = 90^\circ$ 2. $\angle BAK = \angle DCM$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$) 3. $AB = CD$ (как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$) Тогда $\triangle BKA = \triangle DMA$ (по гипотенузе и острому углу). Из равенства треугольников следует, что $BK = DM$. Поскольку $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$, то $BK \parallel DM$. В четырёхугольнике $BMDK$ стороны $BK$ и $DM$ параллельны и равны. Значит, $BMDK$ — параллелограмм. *Перевод: Let's prove that the quadrilateral $BMDK$ is a parallelogram. Since $ABCD$ is a parallelogram, then $AB \parallel CD$ and $BC \parallel AD$. Also, $AB \neq BC$ (by condition). $BK$ and $DM$ are perpendicular to $AC$, that is, $\angle BKA = \angle DMA = 90^\circ$. Consider the triangles $ \triangle BKA$ and $\triangle DMA$. They have: 1. $\angle BKA = \angle DMA = 90^\circ$ 2. $\angle BAK = \angle DCM$ (as alternate interior angles with parallel lines $AB$ and $CD$ and secant $AC$) 3. $AB = CD$ (as opposite sides of parallelogram $ABCD$) Then $\triangle BKA = \triangle DMA$ (by hypotenuse and acute angle). From the equality of triangles it follows that $BK = DM$. Since $BK \perp AC$ and $DM \perp AC$, then $BK \parallel DM$. In the quadrilateral $BMDK$, the sides $BK$ and $DM$ are parallel and equal. So, $BMDK$ is a parallelogram.*