Вычисли значения $\sin \frac{\alpha}{2}$, $\cos \frac{\alpha}{2}$ и $\tg \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \alpha = -\frac{8}{17}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

Для примера г) нам дано $\sin \alpha = -\frac{8}{17}$, и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это значит, что угол $\alpha$ находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны. Чтобы найти $\sin \frac{\alpha}{2}$, $\cos \frac{\alpha}{2}$ и $\tg \frac{\alpha}{2}$, сначала найдем $\cos \alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$$ Так как $\alpha$ в третьей четверти, $\cos \alpha$ отрицательный: $$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}$$ Теперь используем формулы половинного угла: $$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$$ $$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$$ $$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$$ Так как $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, то $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Это значит, что $\frac{\alpha}{2}$ находится во второй четверти, где синус положительный, а косинус и тангенс отрицательные. $$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{15}{17})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{15}{17}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$$ $$\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{15}{17})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{15}{17}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{2}{17}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17}$$ $$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{4\sqrt{17}}{17}}{-\frac{\sqrt{17}}{17}} = -4$$ **Ответ:** $\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$, $\cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{17}}{17}$, $\tan \frac{\alpha}{2} = -4$ *Перевод:* Дано: $\sin \alpha = -\frac{8}{17}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Найти: $\sin \frac{\alpha}{2}$, $\cos \frac{\alpha}{2}$, $\tg \frac{\alpha}{2}$. Решение: Используем тригонометрические тождества и формулы половинного угла, учитывая знак каждой функции в соответствующей четверти.