Ты просишь доказать, что четырёхугольник APCQ - параллелограмм, если на диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB = QD.

Для доказательства, что четырёхугольник $APCQ$ — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны или равны. Давай рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Допущение: Точки $P$ и $Q$ лежат на диагонали $BD$ так, что $PB = QD$. 1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, а также $AB = CD$ и $BC = AD$. 2. Рассмотрим диагональ $BD$. Так как $PB = QD$, то можно сказать, что отрезок $BP$ равен отрезку $DQ$. 3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABP$ и $\triangle CDQ$. У них: * $AB = CD$ (как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$), * $\angle ABP = \angle CDQ$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$), * $PB = QD$ (по условию). 4. Следовательно, $\triangle ABP = \triangle CDQ$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 5. Из равенства треугольников следует, что $AP = CQ$ и $\angle BAP = \angle DCQ$. 6. Аналогично можно доказать, что $AQ = CP$ и $\angle DAQ = \angle BCP$. 7. Так как $AP = CQ$ и $AQ = CP$, то четырёхугольник $APCQ$ — параллелограмм (по признаку параллелограмма, когда противоположные стороны попарно равны). **Ответ:** Четырёхугольник $APCQ$ — параллелограмм.