Реши задачу 29: Найди неизвестную сторону треугольника DEF, если DE = 4 см, DF = 2√3 см, ∠D = 30°.

Задача 29. 1) Давай воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти сторону EF: $$EF^2 = DE^2 + DF^2 - 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos{D}$$ $$EF^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{30^\circ}$$ $$EF^2 = 16 + 12 - 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$EF^2 = 28 - 16 \cdot \frac{3}{2}$$ $$EF^2 = 28 - 24 = 4$$ $$EF = \sqrt{4} = 2$$ 2) Снова теорема косинусов, чтобы найти сторону DE: $$DE^2 = DF^2 + EF^2 - 2 \cdot DF \cdot EF \cdot \cos{F}$$ $$DE^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos{120^\circ}$$ $$DE^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$DE^2 = 34 + 15 = 49$$ $$DE = \sqrt{49} = 7$$ Задача 30. Найдём наибольший угол. Он лежит напротив наибольшей стороны (28 см). Обозначим этот угол как \(\gamma\). Используем теорему косинусов: $$28^2 = 12^2 + 20^2 - 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot \cos{\gamma}$$ $$784 = 144 + 400 - 480 \cdot \cos{\gamma}$$ $$784 = 544 - 480 \cdot \cos{\gamma}$$ $$240 = -480 \cdot \cos{\gamma}$$ $$\cos{\gamma} = -\frac{240}{480} = -\frac{1}{2}$$ $$\gamma = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$$ Задача 31. Сначала упростим \(\sqrt{18}\): \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \approx 3 \cdot 1.41 = 4.23\) см. Теперь у нас есть стороны: 4.23 см, 5 см и 7 см. Средняя по величине сторона - это 5 см.