Реши примеры 6-15

6. Давай упростим это выражение: $\frac{4x-16y}{2\sqrt{x}-4\sqrt{y}}-2\sqrt{y}$. Сначала вынесем 4 в числителе: $\frac{4(x-4y)}{2\sqrt{x}-4\sqrt{y}}-2\sqrt{y}$. Заметим, что $x-4y$ можно представить как разность квадратов: $(\sqrt{x})^2 - (2\sqrt{y})^2$. Тогда, раскладываем на множители: $4 \cdot \frac{(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})}{2(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})} - 2\sqrt{y}$. Сокращаем $(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})$ и 2: $2(\sqrt{x} + 2\sqrt{y}) - 2\sqrt{y} = 2\sqrt{x} + 4\sqrt{y} - 2\sqrt{y} = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y}$. Теперь используем условие $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$, тогда $2(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 2 \cdot 8 = 16$. **Ответ: 16** 7. Давай посмотрим на выражение: $(\frac{a+3b}{a^2-3ab} - \frac{1}{a}) : \frac{b}{3b-a}$. Сначала упростим выражение в скобках: $\frac{a+3b}{a(a-3b)} - \frac{1}{a} = \frac{a+3b - (a-3b)}{a(a-3b)} = \frac{a+3b-a+3b}{a(a-3b)} = \frac{6b}{a(a-3b)}$. Теперь разделим на дробь, значит, умножим на перевернутую дробь: $\frac{6b}{a(a-3b)} : \frac{b}{3b-a} = \frac{6b}{a(a-3b)} \cdot \frac{3b-a}{b}$. Сокращаем $b$ и $(3b-a)$, меняя знак: $\frac{6}{a(a-3b)} \cdot (-1)(a-3b) = -\frac{6}{a}$. Подставляем $a = -1.6$: $-\frac{6}{-1.6} = \frac{6}{1.6} = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3.75$. **Ответ: 3.75** 8. Чтобы найти $f(3)$, нам нужно понять, какое значение $x$ нужно подставить в $f(x-5)$, чтобы получилось $f(3)$. Если $x - 5 = 3$, то $x = 3 + 5 = 8$. Теперь подставим $x = 8$ в выражение $f(x-5) = 5^{10-x}$: $f(3) = 5^{10-8} = 5^2 = 25$. **Ответ: 25** 9. Упростим выражение $\frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}}$. Сначала раскроем скобки: $\frac{a^{23} \cdot b^{20}}{a^{20} \cdot b^{20}}$. Теперь сократим степени: $\frac{a^{23}}{a^{20}} = a^{23-20} = a^3$. Подставляем $a = 2$: $2^3 = 8$. **Ответ: 8** 10. Считаем: $\sqrt{4^4} = 4^{4/2} = 4^2 = 16$. **Ответ: 16** 11. Сначала упростим выражение в скобках: $(\frac{1}{9a} + \frac{1}{3a}) = \frac{1}{9a} + \frac{3}{9a} = \frac{4}{9a}$. Теперь умножим на $\frac{a^2}{8}$: $\frac{4}{9a} \cdot \frac{a^2}{8} = \frac{4a^2}{72a} = \frac{a}{18}$. Подставляем $a = 9$: $\frac{9}{18} = \frac{1}{2} = 0.5$. **Ответ: 0.5** 12. Подставляем значения $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{5}$ в выражение $-\frac{24ab}{7} - \frac{(-4a+3b)^2}{7}$. Считаем: $-\frac{24 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}}{7} - \frac{(-4\sqrt{7}+3\sqrt{5})^2}{7}$. Раскрываем скобки: $-\frac{24\sqrt{35}}{7} - \frac{(16 \cdot 7 - 24 \cdot \sqrt{35} + 9 \cdot 5)}{7} = -\frac{24\sqrt{35}}{7} - \frac{(112 - 24\sqrt{35} + 45)}{7} = -\frac{24\sqrt{35}}{7} - \frac{157 - 24\sqrt{35}}{7}$. Приводим к общему знаменателю: $\frac{-24\sqrt{35} - 157 + 24\sqrt{35}}{7} = \frac{-157}{7}$. **Ответ: -157/7** 13. Подставляем $a = 36$ в выражение $\frac{a-a^2}{7}$. Получаем: $\frac{36 - 36^2}{7} = \frac{36 - 1296}{7} = \frac{-1260}{7} = -180$. **Ответ: -180** 14. Подставляем $p = 3 - 2\sqrt{2}$ и $q = -2\sqrt{2}$ в выражение $\frac{pq}{p+q} \cdot (\frac{q}{p} - \frac{p}{q})$. Сначала найдем $p+q = 3 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3 - 4\sqrt{2}$. Теперь найдем $pq = (3 - 2\sqrt{2}) \cdot (-2\sqrt{2}) = -6\sqrt{2} + 8$. Выражение становится: $\frac{-6\sqrt{2} + 8}{3 - 4\sqrt{2}} \cdot (\frac{-2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} - \frac{3 - 2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}})$. Приводим к общему знаменателю в скобках: $\frac{(-2\sqrt{2})^2 - (3 - 2\sqrt{2})^2}{(3 - 2\sqrt{2}) \cdot (-2\sqrt{2})} = \frac{8 - (9 - 12\sqrt{2} + 8)}{-6\sqrt{2} + 8} = \frac{8 - 17 + 12\sqrt{2}}{-6\sqrt{2} + 8} = \frac{-9 + 12\sqrt{2}}{-6\sqrt{2} + 8}$. Теперь умножаем: $\frac{8 - 6\sqrt{2}}{3 - 4\sqrt{2}} \cdot \frac{-9 + 12\sqrt{2}}{8 - 6\sqrt{2}} = \frac{-9 + 12\sqrt{2}}{3 - 4\sqrt{2}}$. Домножим числитель и знаменатель на $3 + 4\sqrt{2}$: $\frac{(-9 + 12\sqrt{2})(3 + 4\sqrt{2})}{(3 - 4\sqrt{2})(3 + 4\sqrt{2})} = \frac{-27 - 36\sqrt{2} + 36\sqrt{2} + 12 \cdot 4 \cdot 2}{9 - 16 \cdot 2} = \frac{-27 + 96}{9 - 32} = \frac{69}{-23} = -3$. **Ответ: -3** 15. Раскрываем скобки: $(\sqrt{31} - 3)(\sqrt{31} + 3) = (\sqrt{31})^2 - 3^2 = 31 - 9 = 22$. **Ответ: 22**