1. a) $x^2 - 7 = 0$
Чтобы решить это уравнение, нужно найти такие числа, которые, если их возвести в квадрат и вычесть 7, получится 0. Перенесем 7 в правую часть уравнения:
$$x^2 = 7$$
Теперь извлечём квадратный корень из обеих частей:
$$x = \pm \sqrt{7}$$
Значит, у нас два решения: $x = \sqrt{7}$ и $x = -\sqrt{7}$.
б) $x^2 + 7 = 0$
Здесь нужно найти число, которое в квадрате даст -7. Но ты же знаешь, что квадрат любого числа (положительного или отрицательного) всегда положителен или равен нулю. Поэтому у этого уравнения нет решений.
в) $x^2 - 7x = 0$
В этом уравнении можно вынести $x$ за скобки:
$$x(x - 7) = 0$$
Теперь у нас два варианта: либо $x = 0$, либо $(x - 7) = 0$. Если $x - 7 = 0$, то $x = 7$. Значит, решения: $x = 0$ и $x = 7$.
г) $x^2 + 7x = 0$
Как и в предыдущем, выносим $x$ за скобки:
$$x(x + 7) = 0$$
Опять же, либо $x = 0$, либо $(x + 7) = 0$. Если $x + 7 = 0$, то $x = -7$. Значит, решения: $x = 0$ и $x = -7$.
д) $x^2 = 9$
Тут нужно найти число, которое в квадрате равно 9. Это легко! $x = 3$ или $x = -3$.
е) $x^2 = -6x$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2 + 6x = 0$$
Вынесем $x$ за скобки:
$$x(x + 6) = 0$$
Значит, либо $x = 0$, либо $(x + 6) = 0$. Если $x + 6 = 0$, то $x = -6$. Решения: $x = 0$ и $x = -6$.
ж) $0.1x^2 - 3.6 = 0$
Перенесём 3.6 в правую часть:
$$0.1x^2 = 3.6$$
Теперь разделим обе части на 0.1:
$$x^2 = 36$$
И извлечём квадратный корень:
$$x = \pm 6$$
Так что $x = 6$ или $x = -6$.
2. 1) $-2x - 9 > 0$
Чтобы решить это неравенство, сначала перенесём -9 в правую сторону:
$$-2x > 9$$
Теперь разделим обе части на -2. Важно помнить, что когда мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется:
$$x < -\frac{9}{2}$$
$$x < -4.5$$
Это значит, что решением будут все числа меньше -4.5.
2) $5x - 2 < 0$
Перенесём -2 в правую сторону:
$$5x < 2$$
Теперь разделим обе части на 5:
$$x < \frac{2}{5}$$
$$x < 0.4$$
Решением будут все числа меньше 0.4.
3) $5x + 6 > 0$
Перенесём +6 в правую сторону:
$$5x > -6$$
Теперь разделим обе части на 5:
$$x > -\frac{6}{5}$$
$$x > -1.2$$
Решением будут все числа больше -1.2.
4) $-4x + 7 > 0$
Перенесём +7 в правую сторону:
$$-4x > -7$$
Теперь разделим обе части на -4 (не забудь перевернуть знак неравенства!):
$$x < \frac{7}{4}$$
$$x < 1.75$$
Решением будут все числа меньше 1.75.
5) $18x + 18 < 8x$
Сначала соберём все $x$ в одной стороне. Вычтем $8x$ из обеих частей:
$$10x + 18 < 0$$
Теперь перенесём +18 в правую сторону:
$$10x < -18$$
И разделим обе части на 10:
$$x < -\frac{18}{10}$$
$$x < -1.8$$
Решением будут все числа меньше -1.8.
6) $5x - 7 < 8 + 8x$
Соберём все $x$ в одной стороне. Вычтем $8x$ из обеих частей:
$$-3x - 7 < 8$$
Теперь перенесём -7 в правую сторону:
$$-3x < 15$$
И разделим обе части на -3 (не забудь перевернуть знак неравенства!):
$$x > -5$$
Решением будут все числа больше -5.
7) $2x - 3 \geq 2 + 7x$
Соберём все $x$ в одной стороне. Вычтем $7x$ из обеих частей:
$$-5x - 3 \geq 2$$
Теперь перенесём -3 в правую сторону:
$$-5x \geq 5$$
И разделим обе части на -5 (не забудь перевернуть знак неравенства!):
$$x \leq -1$$
Решением будут все числа меньше или равны -1.
8) $-4(-x - 2) > -6 - 4x$
Сначала раскроем скобки:
$$4x + 8 > -6 - 4x$$
Теперь соберём все $x$ в одной стороне. Прибавим $4x$ к обеим частям:
$$8x + 8 > -6$$
Перенесём +8 в правую сторону:
$$8x > -14$$
И разделим обе части на 8:
$$x > -\frac{14}{8}$$
$$x > -1.75$$
Решением будут все числа больше -1.75.
9) $2(-3x + 4) \leq -5 - 4x$
Сначала раскроем скобки:
$$-6x + 8 \leq -5 - 4x$$
Теперь соберём все $x$ в одной стороне. Прибавим $4x$ к обеим частям:
$$-2x + 8 \leq -5$$
Перенесём +8 в правую сторону:
$$-2x \leq -13$$
И разделим обе части на -2 (не забудь перевернуть знак неравенства!):
$$x \geq \frac{13}{2}$$
$$x \geq 6.5$$
Решением будут все числа больше или равны 6.5.
