Найди $sin \alpha$, если $cos \alpha = \frac{1}{2}$

Привет! Давай решим эти задачи вместе. **1100. Найдите $sin \alpha$, если:** а) $cos \alpha = \frac{1}{2}$: Основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Подставляем известное значение косинуса: $sin^2 \alpha + (\frac{1}{2})^2 = 1$ $sin^2 \alpha + \frac{1}{4} = 1$ $sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ $sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ Поскольку не указан диапазон для угла $\alpha$, то у нас два возможных решения: $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. б) $cos \alpha = -\frac{2}{3}$: Аналогично, используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + (-\frac{2}{3})^2 = 1$ $sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1$ $sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ $sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ Опять же, два решения: $sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ или $sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$. в) $cos \alpha = -1$: В этом случае, зная, что $cos \alpha = -1$, мы можем вспомнить, при каком угле косинус равен -1. Это угол $\pi$ (или 180 градусов). $sin \pi = 0$. Таким образом, $sin \alpha = 0$. **1101. Найдите $cos \alpha$, если:** а) $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$: Используем основное тригонометрическое тождество: $cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = 1$ $cos^2 \alpha + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1$ $cos^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1$ $cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ $cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$ Два возможных решения: $cos \alpha = \frac{1}{2}$ или $cos \alpha = -\frac{1}{2}$. б) $sin \alpha = \frac{1}{4}$: Снова используем основное тригонометрическое тождество: $cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = 1$ $cos^2 \alpha + (\frac{1}{4})^2 = 1$ $cos^2 \alpha + \frac{1}{16} = 1$ $cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ $cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ Два решения: $cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ или $cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}$. в) $sin \alpha = 0$: Если $sin \alpha = 0$, то угол $\alpha$ равен либо 0, либо $\pi$ (0 или 180 градусов). В обоих случаях: $cos 0 = 1$ и $cos \pi = -1$. Значит, $cos \alpha = \pm 1$. Надеюсь, теперь тебе всё понятно!