Реши неравенство (x - 4)²(x + 2) / (x-5)³ ≤ 0

Чтобы решить неравенство $\frac{(x - 4)^2(x + 2)}{(x-5)^3} \le 0$, нам нужно найти значения $x$, при которых это выполняется. 1. **Найдем нули числителя:** * $(x - 4)^2 = 0$, откуда $x = 4$ (это значение обращает числитель в ноль). * $(x + 2) = 0$, откуда $x = -2$ (это тоже обращает числитель в ноль). 2. **Найдем нули знаменателя:** * $(x - 5)^3 = 0$, откуда $x = 5$ (это значение обращает знаменатель в ноль, и дробь не имеет смысла). 3. **Отметим эти точки на числовой прямой:** * ----(-2)----(4)----(5)---> X 4. **Определим знаки на каждом интервале:** * Возьмем значения из каждого интервала и подставим в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения. * Интервал $(-\infty, -2)$: возьмем $x = -3$. Тогда выражение будет $\frac{((-3) - 4)^2((-3) + 2)}{((-3)-5)^3} = \frac{(+)}{(-)} < 0$. Значит, на этом интервале неравенство выполняется. * Интервал $(-2, 4)$: возьмем $x = 0$. Тогда выражение будет $\frac{((0) - 4)^2((0) + 2)}{((0)-5)^3} = \frac{(+)}{(-)} < 0$. Значит, на этом интервале неравенство выполняется. * Интервал $(4, 5)$: возьмем $x = 4.5$. Тогда выражение будет $\frac{((4.5) - 4)^2((4.5) + 2)}{((4.5)-5)^3} = \frac{(+)}{(-)} < 0$. Значит, на этом интервале неравенство выполняется. * Интервал $(5, +\infty)$: возьмем $x = 6$. Тогда выражение будет $\frac{((6) - 4)^2((6) + 2)}{((6)-5)^3} = \frac{(+)}{(+)} > 0$. Значит, на этом интервале неравенство не выполняется. 5. **Запишем ответ:** * $x \in (-\infty; -2] \cup [-2; 4] \cup [4; 5)$. Или можно записать проще: $x \in (-\infty; 5)$. Точка $x=4$ входит в ответ, так как неравенство нестрогое, а $x=5$ не входит, так как на ноль делить нельзя. **Ответ:** $x \in (-\infty; -2] \cup [-2; 4] \cup [4; 5)$ или $x \in (-\infty; 5)$.