a) Сначала упростим выражение, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11} = 7^5 \cdot 7^{2 \cdot 4} : 7^{11} = 7^5 \cdot 7^8 : 7^{11}$$. Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$7^5 \cdot 7^8 : 7^{11} = 7^{5+8} : 7^{11} = 7^{13} : 7^{11}$$. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $$7^{13} : 7^{11} = 7^{13-11} = 7^2 = 49$$. **Ответ: 49**
б) Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $$11^{-4} : 11^{13} : 11^{17} = 11^{-4-13} : 11^{17} = 11^{-17} : 11^{17} = 11^{-17-17} = 11^{-34}$$. **Ответ: $11^{-34}$**
в) Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $$5^9 : 5^{-12} : 5^{20} = 5^{9 - (-12)} : 5^{20} = 5^{9 + 12} : 5^{20} = 5^{21} : 5^{20} = 5^{21-20} = 5^1 = 5$$. **Ответ: 5**
г) Сначала упростим выражение, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $25 = 5^2$: $$10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14} = 10 : 5^{-2 \cdot 13} : (5^2)^{14} = 10 : 5^{-26} : 5^{2 \cdot 14} = 10 : 5^{-26} : 5^{28}$$. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $$10 : 5^{-26} : 5^{28} = 10 : 5^{-26 - 28} = 10 : 5^{-54} = 10 \cdot 5^{54}$$. **Ответ: $10 \cdot 5^{54}$**
д) Разделим дроби. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую дробь: $$\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6} = \frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} \cdot \frac{3^6 \cdot 4^6}{12^5}$$. Разложим числа на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$, $4 = 2^2$. Тогда: $$\frac{(3 \cdot 5)^5}{3^3 \cdot 5^4} \cdot \frac{3^6 \cdot (2^2)^6}{(3 \cdot 2^2)^5} = \frac{3^5 \cdot 5^5}{3^3 \cdot 5^4} \cdot \frac{3^6 \cdot 2^{12}}{3^5 \cdot 2^{10}} = \frac{3^5 \cdot 5^5 \cdot 3^6 \cdot 2^{12}}{3^3 \cdot 5^4 \cdot 3^5 \cdot 2^{10}} = \frac{3^{5+6} \cdot 5^5 \cdot 2^{12}}{3^{3+5} \cdot 5^4 \cdot 2^{10}} = \frac{3^{11} \cdot 5^5 \cdot 2^{12}}{3^8 \cdot 5^4 \cdot 2^{10}}$$. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $$3^{11-8} \cdot 5^{5-4} \cdot 2^{12-10} = 3^3 \cdot 5^1 \cdot 2^2 = 27 \cdot 5 \cdot 4 = 27 \cdot 20 = 540$$. **Ответ: 540**
е) Разделим дроби. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую дробь: $$\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} : \frac{17^6 \cdot 8^3}{34^7} = \frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} \cdot \frac{34^7}{17^6 \cdot 8^3}$$. Разложим числа на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$, $34 = 2 \cdot 17$, $8 = 2^3$. Тогда: $$\frac{(2 \cdot 5)^{10}}{2^8 \cdot 5^9} \cdot \frac{(2 \cdot 17)^7}{17^6 \cdot (2^3)^3} = \frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^8 \cdot 5^9} \cdot \frac{2^7 \cdot 17^7}{17^6 \cdot 2^9} = \frac{2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 2^7 \cdot 17^7}{2^8 \cdot 5^9 \cdot 17^6 \cdot 2^9} = \frac{2^{10+7} \cdot 5^{10} \cdot 17^7}{2^{8+9} \cdot 5^9 \cdot 17^6} = \frac{2^{17} \cdot 5^{10} \cdot 17^7}{2^{17} \cdot 5^9 \cdot 17^6}$$. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $$2^{17-17} \cdot 5^{10-9} \cdot 17^{7-6} = 2^0 \cdot 5^1 \cdot 17^1 = 1 \cdot 5 \cdot 17 = 85$$. **Ответ: 85**
