Объясни, как привести к общему знаменателю дроби: 5p-15/2p и 1/(p³ - 27)

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по порядку. Я постараюсь объяснить всё максимально понятно. **6.11. Сократите дроби:** 1) $\frac{3^{2n+2} \cdot 2^{n+1}}{18^n} = \frac{3^{2n} \cdot 3^2 \cdot 2^n \cdot 2}{ (2 \cdot 9)^n } = \frac{9 \cdot 2 \cdot 3^{2n} \cdot 2^n}{2^n \cdot 9^n} = \frac{18 \cdot 9^n}{9^n} = 18$. *Пояснение:* Здесь мы представили $18^n$ как $(2 \cdot 9)^n$, затем сократили одинаковые степени и упростили выражение. 2) $\frac{41 \cdot 9^n}{9^{n+2} + 9^n} = \frac{41 \cdot 9^n}{9^n \cdot (9^2 + 1)} = \frac{41 \cdot 9^n}{9^n \cdot (81 + 1)} = \frac{41}{82} = \frac{1}{2}$. *Пояснение:* Тут мы вынесли $9^n$ за скобки и сократили дробь. **6.12. Приведите к общему знаменателю дроби:** 1) $\frac{5p-15}{2p}$ и $\frac{1}{p^3 - 27}$. Разложим знаменатели на множители: $2p = 2p$ $p^3 - 27 = (p-3)(p^2 + 3p + 9)$ Общий знаменатель: $2p(p-3)(p^2 + 3p + 9)$. Домножим первую дробь на $(p-3)(p^2 + 3p + 9)$, а вторую на $2p$. Получим: $\frac{(5p-15)(p-3)(p^2 + 3p + 9)}{2p(p-3)(p^2 + 3p + 9)}$ и $\frac{2p}{2p(p-3)(p^2 + 3p + 9)}$. *Пояснение:* Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) и домножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующие множители. 2) $\frac{3a+1}{9a^2 - 6a + 1}$ и $\frac{a-2}{9a^2-1}$. Разложим знаменатели на множители: $9a^2 - 6a + 1 = (3a-1)^2$ $9a^2 - 1 = (3a-1)(3a+1)$ Общий знаменатель: $(3a-1)^2(3a+1)$. Домножим первую дробь на $(3a+1)$, а вторую на $(3a-1)$. Получим: $\frac{(3a+1)(3a+1)}{(3a-1)^2(3a+1)}$ и $\frac{(a-2)(3a-1)}{(3a-1)^2(3a+1)}$. 3) $\frac{a}{a^2 - 7a}$ и $\frac{a+3}{a^2 - 14a + 49}$. Разложим знаменатели на множители: $a^2 - 7a = a(a-7)$ $a^2 - 14a + 49 = (a-7)^2$ Общий знаменатель: $a(a-7)^2$. Домножим первую дробь на $(a-7)$, а вторую на $a$. Получим: $\frac{a(a-7)}{a(a-7)^2}$ и $\frac{a(a+3)}{a(a-7)^2}$. 4) $\frac{2x}{x^2-1}$ и $\frac{3x}{x^2+2x+1}$. Разложим знаменатели на множители: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)^2$. Домножим первую дробь на $(x+1)$, а вторую на $(x-1)$. Получим: $\frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)^2}$ и $\frac{3x(x-1)}{(x-1)(x+1)^2}$. 5) $\frac{a^2}{a^2 - ab - ac + bc}$ и $\frac{b}{2a-2b}$. Разложим знаменатели на множители: $a^2 - ab - ac + bc = a(a-b) - c(a-b) = (a-b)(a-c)$ $2a - 2b = 2(a-b)$ Общий знаменатель: $2(a-b)(a-c)$. Домножим первую дробь на $2$, а вторую на $(a-c)$. Получим: $\frac{2a^2}{2(a-b)(a-c)}$ и $\frac{b(a-c)}{2(a-b)(a-c)}$. $\frac{ab}{4a-4c}$. Разложим знаменатели на множители: $4a - 4c = 4(a-c)$ Общий знаменатель: $4(a-b)(a-c)$. Домножим первую дробь на $2$, а вторую на $(a-c)$. Получим: $\frac{4a^2}{4(a-b)(a-c)}$ и $\frac{b(a-c)}{4(a-b)(a-c)}$. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать такие примеры! Если что, спрашивай ещё!