## Номер 594
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $b$, а противолежащий угол равен $\beta$:
а) Выразим другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через $b$ и $\beta$.
* **Другой катет ($a$)**: $a = b \cdot \cot(\beta)$.
* **Противолежащий угол**: $90^\circ - \beta$.
* **Гипотенуза ($c$)**: $c = \frac{b}{\sin(\beta)}$.
б) Найдем их значения, если $b = 10$ см, $\beta = 50^\circ$.
Подставим значения в формулы:
* $a = 10 \cdot \cot(50^\circ) \approx 10 \cdot 0.839 = 8.39$ см.
* Противолежащий угол: $90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.
* $c = \frac{10}{\sin(50^\circ)} \approx \frac{10}{0.766} = 13.05$ см.
**Ответ:** $a \approx 8.39$ см, угол $40^\circ$, $c \approx 13.05$ см.
## Номер 595
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $b$, а прилежащий к нему угол равен $\alpha$:
а) Выразим второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через $b$ и $\alpha$.
* **Второй катет ($a$)**: $a = b \cdot \tan(\alpha)$.
* **Прилежащий острый угол**: $\alpha$.
* **Гипотенуза ($c$)**: $c = \frac{b}{\cos(\alpha)}$.
б) Найдем их значения, если $b = 12$ см, $\alpha = 42^\circ$.
Подставим значения в формулы:
* $a = 12 \cdot \tan(42^\circ) \approx 12 \cdot 0.900 = 10.8$ см.
* Прилежащий острый угол: $42^\circ$.
* $c = \frac{12}{\cos(42^\circ)} \approx \frac{12}{0.743} = 16.15$ см.
**Ответ:** $a \approx 10.8$ см, угол $42^\circ$, $c \approx 16.15$ см.
## Номер 596
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, а один из острых углов равен $\alpha$:
а) Выразим второй острый угол и катеты через $c$ и $\alpha$.
* **Второй острый угол**: $90^\circ - \alpha$.
* **Катет, прилежащий к углу $\alpha$ ($b$)**: $b = c \cdot \cos(\alpha)$.
* **Катет, противолежащий углу $\alpha$ ($a$)**: $a = c \cdot \sin(\alpha)$.
б) Найдем их значения, если $c = 24$ см, $\alpha = 35^\circ$.
Подставим значения в формулы:
* Второй острый угол: $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.
* $b = 24 \cdot \cos(35^\circ) \approx 24 \cdot 0.819 = 19.66$ см.
* $a = 24 \cdot \sin(35^\circ) \approx 24 \cdot 0.574 = 13.78$ см.
**Ответ:** угол $55^\circ$, $b \approx 19.66$ см, $a \approx 13.78$ см.
## Номер 597
Катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Выразим через $a$ и $b$ гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при $a = 12$, $b = 15$.
* **Гипотенуза ($c$)**: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
* **Тангенс угла, противолежащего катету $a$**: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$.
* **Тангенс угла, противолежащего катету $b$**: $\tan(\beta) = \frac{b}{a}$.
Подставим значения $a = 12$ и $b = 15$:
* $c = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} \approx 19.21$.
* $\tan(\alpha) = \frac{12}{15} = 0.8$, значит $\alpha \approx 38.66^\circ$.
* $\tan(\beta) = \frac{15}{12} = 1.25$, значит $\beta \approx 51.34^\circ$.
**Ответ:** $c \approx 19.21$, $\alpha \approx 38.66^\circ$, $\beta \approx 51.34^\circ$.
## Номер 598
Найдем площадь равнобедренного треугольника с углом $\alpha$ при основании:
а) Боковая сторона равна $b$.
Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} b^2 \sin(\gamma)$, где $\gamma$ - угол между боковыми сторонами.
Так как углы при основании равны $\alpha$, то угол между боковыми сторонами $\gamma = 180^\circ - 2\alpha$.
Тогда площадь $S = \frac{1}{2} b^2 \sin(180^\circ - 2\alpha) = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.
б) Основание равно $a$.
Площадь равнобедренного треугольника можно найти, зная основание и угол при основании. Высота, проведенная к основанию, равна $h = \frac{a}{2} \cdot \tan(\alpha)$.
Тогда площадь $S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a}{2} \tan(\alpha) = \frac{a^2}{4} \tan(\alpha)$.
## Номер 599
**Допущение:** Трапеция равнобедренная.
Найдем площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен $\alpha$.
Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2} h$, где $a$ и $b$ - основания, $h$ - высота.
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной $\frac{b-a}{2}$ и $\frac{b+a}{2}$.
Тогда высота $h = \frac{b-a}{2} \tan(\alpha) = \frac{6-2}{2} \tan(\alpha) = 2 \tan(\alpha)$.
Площадь $S = \frac{2+6}{2} 2 \tan(\alpha) = 8 \tan(\alpha)$.
**Ответ:** $S = 8 \tan(\alpha)$.
