Ты просишь доказать, что если векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Также нужно доказать обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то \(AB = CD\).

Для доказательства этих утверждений, давай вспомним, что значит равенство векторов и как найти середину отрезка. 1. **Доказательство первого утверждения** Если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, это значит, что они имеют одинаковую длину и направление. Пусть $E$ и $F$ — середины отрезков $AD$ и $BC$ соответственно. Нам нужно доказать, что точки $E$ и $F$ совпадают. Координаты середины отрезка можно найти как среднее арифметическое координат его концов. То есть, если $A(x_A, y_A)$ и $D(x_D, y_D)$, то середина $E$ имеет координаты $E(\frac{x_A + x_D}{2}, \frac{y_A + y_D}{2})$. Аналогично для середины $F$ отрезка $BC$. Так как $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $x_B - x_A = x_D - x_C$ и $y_B - y_A = y_D - y_C$. Из этого следует, что $x_A + x_D = x_B + x_C$ и $y_A + y_D = y_B + y_C$. Тогда координаты середины $E$ совпадают с координатами середины $F$, значит, $E$ и $F$ — одна и та же точка. 2. **Доказательство обратного утверждения** Теперь предположим, что середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают. Это означает, что $x_A + x_D = x_B + x_C$ и $y_A + y_D = y_B + y_C$. Нам нужно доказать, что $\vec{AB} = \vec{CD}$. Из равенства координат следует, что $x_B - x_A = x_D - x_C$ и $y_B - y_A = y_D - y_C$. Это как раз и означает, что вектор $\vec{AB}$ имеет те же координаты, что и вектор $\vec{CD}$, а значит, они равны. **Вывод** Оба утверждения доказаны! Если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, и наоборот, если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны.