431. а) 8^{1/2} : (8^{1/6} \cdot 9^{3/2}); б) \sqrt[3]{100} \cdot (\sqrt{2})^{8/3} \cdot (1/5)^{5/3}; в) 8^{2 1/3} : 81^{0.75}; г) (1 11/25)^{-0.5} \cdot (4 17/27)^{-1/3}

Привет! Давай решим эти примеры по действиям с степенями: **а)** $8^{1/2} : (8^{1/6} \cdot 9^{3/2})$ Представим числа как степени двойки и тройки: $8^{1/2} = (2^3)^{1/2} = 2^{3/2}$ $8^{1/6} = (2^3)^{1/6} = 2^{3/6} = 2^{1/2}$ $9^{3/2} = (3^2)^{3/2} = 3^3 = 27$ Теперь подставим: $\frac{2^{3/2}}{2^{1/2} \cdot 27} = \frac{2^{(3/2 - 1/2)}}{27} = \frac{2^1}{27} = \frac{2}{27}$ **б)** $\sqrt[3]{100} \cdot (\sqrt{2})^{8/3} \cdot (\frac{1}{5})^{5/3}$ Запишем всё через простые множители: $\sqrt[3]{100} = (10^2)^{1/3} = (2 \cdot 5)^{2/3} = 2^{2/3} \cdot 5^{2/3}$ $(\sqrt{2})^{8/3} = (2^{1/2})^{8/3} = 2^{4/3}$ $(\frac{1}{5})^{5/3} = 5^{-5/3}$ Сгруппируем: $2^{(2/3 + 4/3)} \cdot 5^{(2/3 - 5/3)} = 2^{6/3} \cdot 5^{-3/3} = 2^2 \cdot 5^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{5} = 0,8$ **в)** $8^{2 1/3} : 81^{0,75}$ Преобразуем степени: $8^{2 1/3} = 8^{7/3} = (2^3)^{7/3} = 2^7 = 128$ $81^{0,75} = 81^{3/4} = (3^4)^{3/4} = 3^3 = 27$ Результат: $128 : 27 = \frac{128}{27} = 4 \frac{20}{27}$ **г)** $(1 \frac{11}{25})^{-0,5} \cdot (4 \frac{17}{27})^{-1/3}$ Переведем в неправильные дроби: $1 \frac{11}{25} = \frac{36}{25} = (\frac{6}{5})^2 \Rightarrow ((\frac{6}{5})^2)^{-0,5} = (\frac{6}{5})^{-1} = \frac{5}{6}$ $4 \frac{17}{27} = \frac{125}{27} = (\frac{5}{3})^3 \Rightarrow ((\frac{5}{3})^3)^{-1/3} = (\frac{5}{3})^{-1} = \frac{3}{5}$ Итого: $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{6} = 0,5$