932. Векторные величины имеют направление и величину. Из перечисленных векторными являются: скорость, сила, работа.
933.
* $|AB| = 3$ см (дано)
* $|BC| = 4$ см (дано)
* $|DC| = |AB| = 3$ см (противоположные стороны прямоугольника)
* $M$ - середина $AB$, значит, $|AM| = |MB| = \frac{1}{2} |AB| = 1.5$ см
* $|MC| = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{1.5^2 + 4^2} = \sqrt{2.25 + 16} = \sqrt{18.25} ≈ 4.27$ см (по теореме Пифагора для треугольника $MBC$)
* $|MA| = 1.5$ см (как было найдено выше)
* $|CB| = |BC| = 4$ см
* $|AC| = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см (по теореме Пифагора для треугольника $ABC$)
934. **Допущение:** Трапеция $ABCD$ прямоугольная с прямым углом $A$. Значит, $\angle A = 90°$
* $|AD| = 12$ см (дано)
* $|AB| = 5$ см (дано)
* $\angle D = 45°$ (дано)
Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDH$, где $CH$ - высота трапеции, проведенная из вершины $C$ к основанию $AD$. Тогда $|CH| = |AB| = 5$ см. Так как $\angle D = 45°$, то и $\angle DCH = 45°$, то есть треугольник $CDH$ равнобедренный, и $|DH| = |CH| = 5$ см.
Тогда $|CD| = \sqrt{DH^2 + CH^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ≈ 7.07$ см (по теореме Пифагора для треугольника $CDH$).
$|AC| = \sqrt{AB^2 + BC^2}$. Чтобы найти $|AC|$, сначала нужно найти $|BC|$. $|BC| = |AD| - |DH| = 12 - 5 = 7$ см.
Тогда $|AC| = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см (по теореме Пифагора для треугольника $ABC$).
Чтобы найти $|BD|$, рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$:
$|BD| = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см (по теореме Пифагора для треугольника $ABD$).
935.
* a) В параллелограмме $MNPQ$ коллинеарные векторы: $\vec{MN}$ и $\vec{QP}$, $\vec{MQ}$ и $\vec{NP}$.
* Сонаправленные: $\vec{MN}$ и $\vec{QP}$, $\vec{MQ}$ и $\vec{NP}$.
* Противоположно направленные: $\vec{NM}$ и $\vec{QP}$, $\vec{MQ}$ и $\vec{PN}$.
* б) В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ коллинеарны векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$.
* Если $AD$ и $BC$ основания трапеции $ABCD$, то $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ - сонаправленные.
* в) В треугольнике $FGH$ коллинеарных векторов нет, так как нет параллельных сторон.
936.
* a) $\vec{AB} = \vec{DC}$ - да, так как это противоположные стороны параллелограмма.
* б) $\vec{BC} = \vec{DA}$ - нет, так как $\vec{BC} = -\vec{AD}$.
* в) $\vec{AO} = \vec{OC}$ - да, так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
* г) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ - нет, так как это диагонали, и они не параллельны (если это не ромб).
937. **Допущение:** $MNLK$ - равнобедренная трапеция.
* a) $\vec{NL}$ и $\vec{KL}$ - нет, так как трапеция равнобедренная, и $NL$ не параллельна $KL$.
* б) $\vec{MS}$ и $\vec{SN}$ - нет, так как $\vec{MS} = -\vec{SM} = \vec{NS} = - \vec{SN}$.
* в) $\vec{MN}$ и $\vec{KL}$ - нет, так как основания трапеции не равны по определению.
* г) $\vec{TS}$ и $\vec{KM}$ - нет, так как векторы не параллельны.
* д) $\vec{TL}$ и $\vec{KT}$ - нет, так как $\vec{KT} = -\vec{TK}$.
938. Если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то есть $\vec{AB} = \vec{CD}$, это означает, что они имеют одинаковую длину и направление. Пусть $E$ и $F$ - середины отрезков $AD$ и $BC$ соответственно. Тогда $AE = \frac{1}{2}AD$ и $BF = \frac{1}{2}BC$. Если $\vec{AB} = \vec{CD}$, то отрезки $AD$ и $BC$ также равны и параллельны, следовательно, их середины $E$ и $F$ совпадают.
Обратное утверждение: если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то есть $E = F$, тогда $AE = \frac{1}{2}AD$ и $BF = \frac{1}{2}BC$. Так как $E = F$, то $AE = BF$, следовательно, $AD = BC$. Так как $E$ и $F$ совпадают, то отрезки $AD$ и $BC$ параллельны. Таким образом, $\vec{AB} = \vec{CD}$.
939.
* a) Если $|AB| = |DC|$ и $|AB| = |BC|$, то это параллелограмм, у которого все стороны равны, то есть ромб.
* б) Если $AB \uparrow\uparrow DC$, то есть $AB$ параллельна $DC$, а векторы $AD$ и $BC$ не коллинеарны, то это трапеция.
940.
* а) Верно, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то они коллинеарны.
* б) Неверно, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то они сонаправлены, а не противоположно направлены.
* в) Верно, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, то они коллинеарны.
* г) Неверно, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, это не значит, что они равны.
* д) Неверно, если вектор $\vec{a}$ нулевой, то вектор $\vec{b}$ может быть любым.
