Нужно упростить выражение $\frac{\sqrt{(a + \sqrt{ab})(\sqrt{ab} + b)} + \sqrt{(a - \sqrt{ab})(\sqrt{ab} - b)}}{\sqrt{(a + \sqrt{ab})(\sqrt{ab} + b)} - \sqrt{(a - \sqrt{ab})(\sqrt{ab} - b)}}$

Сложно сразу сказать, как решить это выражение, потому что оно выглядит довольно громоздко. Но давай попробуем упростить его по шагам! Предположим, что $a$ и $b$ — это положительные числа, чтобы можно было извлекать корни. Выражение, которое нужно упростить, выглядит так: $$\frac{\sqrt{(a + \sqrt{ab})(\sqrt{ab} + b)} + \sqrt{(a - \sqrt{ab})(\sqrt{ab} - b)}}{\sqrt{(a + \sqrt{ab})(\sqrt{ab} + b)} - \sqrt{(a - \sqrt{ab})(\sqrt{ab} - b)}}$$ Чтобы упростить это выражение, можно попробовать ввести новые переменные или упростить выражения под корнями. Заметим, что в числителе и знаменателе есть похожие элементы, которые можно обозначить как $A = \sqrt{(a + \sqrt{ab})(\sqrt{ab} + b)}$ и $B = \sqrt{(a - \sqrt{ab})(\sqrt{ab} - b)}$. Тогда выражение примет вид: $$\frac{A + B}{A - B}$$ Теперь можно попробовать избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $A + B$: $$\frac{(A + B)(A + B)}{(A - B)(A + B)} = \frac{(A + B)^2}{A^2 - B^2}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{A^2 + 2AB + B^2}{A^2 - B^2}$$ Теперь нужно вычислить $A^2$, $B^2$ и $AB$: $A^2 = (a + \sqrt{ab})(\sqrt{ab} + b) = a\sqrt{ab} + ab + ab + b\sqrt{ab} = a\sqrt{ab} + 2ab + b\sqrt{ab}$ $B^2 = (a - \sqrt{ab})(\sqrt{ab} - b) = a\sqrt{ab} - ab - ab + b\sqrt{ab} = a\sqrt{ab} - 2ab + b\sqrt{ab}$ Теперь вычислим $A^2 - B^2$: $A^2 - B^2 = (a\sqrt{ab} + 2ab + b\sqrt{ab}) - (a\sqrt{ab} - 2ab + b\sqrt{ab}) = 4ab$ Теперь вычислим $AB$: $AB = \sqrt{(a + \sqrt{ab})(\sqrt{ab} + b)(a - \sqrt{ab})(\sqrt{ab} - b)} = \sqrt{((a + \sqrt{ab})(a - \sqrt{ab}))((\sqrt{ab} + b)(\sqrt{ab} - b))}$$ $AB = \sqrt{(a^2 - ab)(ab - b^2)} = \sqrt{a(a - b)b(a - b)} = \sqrt{ab(a - b)^2} = (a - b)\sqrt{ab}$ Подставим полученные значения в наше выражение: $$\frac{A^2 + 2AB + B^2}{A^2 - B^2} = \frac{(a\sqrt{ab} + 2ab + b\sqrt{ab}) + 2(a - b)\sqrt{ab} + (a\sqrt{ab} - 2ab + b\sqrt{ab})}{4ab}$$ Упростим числитель: $2a\sqrt{ab} + 2b\sqrt{ab} + 2(a - b)\sqrt{ab} = 2a\sqrt{ab} + 2b\sqrt{ab} + 2a\sqrt{ab} - 2b\sqrt{ab} = 4a\sqrt{ab}$ Теперь всё выражение выглядит так: $$\frac{4a\sqrt{ab}}{4ab} = \frac{a\sqrt{ab}}{ab} = \frac{\sqrt{ab}}{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$ **Ответ: $\sqrt{\frac{a}{b}}$**