Как доказать, что четырёхугольник ABCD с вершинами A (-2; 3; -1), B (-2; 7; -6), C (-1; 7; -6) и D (-1; 3; -1) является прямоугольником?

Чтобы доказать, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником, нужно показать, что его стороны попарно параллельны и что все его углы прямые. 1. **Найдём векторы сторон:** $$\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - (-2); 7 - 3; -6 - (-1)) = (0; 4; -5)$$ $$\overrightarrow{DC} = C - D = (-1 - (-1); 7 - 3; -6 - (-1)) = (0; 4; -5)$$ $$\overrightarrow{AD} = D - A = (-1 - (-2); 3 - 3; -1 - (-1)) = (1; 0; 0)$$ $$\overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - (-2); 7 - 7; -6 - (-6)) = (1; 0; 0)$$ 2. **Проверим параллельность сторон:** Так как $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, то $AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$. Значит, $ABCD$ — параллелограмм. 3. **Проверим перпендикулярность сторон (прямые углы):** Для этого проверим, что скалярное произведение векторов смежных сторон равно нулю: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (0)(1) + (4)(0) + (-5)(0) = 0$$ Так как $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$, то $AB \perp AD$. 4. **Вывод:** Поскольку $ABCD$ — параллелограмм и $AB \perp AD$, то $ABCD$ — прямоугольник. **Ответ: Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, так как его противоположные стороны попарно параллельны, и один из углов прямой.**