Помоги мне найти производную функции y = sqrt(x) * (x^4 + 2)

Чтобы решить твой пример, нужно найти производную функции $y = \sqrt{x} \cdot (x^4 + 2)$. Давай сделаем это по шагам: 1. **Вспомним правило произведения:** Если у нас есть функция, которая является произведением двух других функций, например $y = u(x) \cdot v(x)$, то её производная находится по формуле: $y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$. 2. **Определим $u(x)$ и $v(x)$:** В нашем случае $u(x) = \sqrt{x}$, а $v(x) = x^4 + 2$. 3. **Найдём производные $u'(x)$ и $v'(x)$:** * $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$, значит, $u'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. * $v(x) = x^4 + 2$, значит, $v'(x) = 4x^3$. 4. **Применим правило произведения:** $$y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (x^4 + 2) + \sqrt{x} \cdot 4x^3$$ 5. **Упростим выражение:** $$y' = \frac{x^4 + 2}{2\sqrt{x}} + 4x^3\sqrt{x} = \frac{x^4 + 2 + 8x^4}{2\sqrt{x}} = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$$ Можно ещё немного упростить, избавившись от иррациональности в знаменателе: $$y' = \frac{(9x^4 + 2)\sqrt{x}}{2x}$$ **Ответ: $y' = \frac{(9x^4 + 2)\sqrt{x}}{2x}$**