Какие из данных десятичных дробей являются рациональными числами: 1) 16,9?

Конечно, давай разберёмся с этими заданиями! **Задание 6:** Рациональные числа – это те, которые можно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель – целые числа. Ещё рациональные числа – это те десятичные дроби, у которых есть конец (конечное число знаков после запятой) или они периодические (то есть цифры после запятой повторяются). 1) 16,9 – рациональное число, так как это 169/10. 2) 7,25(4) – рациональное число, так как это периодическая дробь (четверка повторяется). 3) 1,21221222... – иррациональное число, так как нет периода. 4) 99,1357911... – иррациональное число, так как после запятой записаны нечётные числа, и периода нет. **Задание 7:** Чтобы понять, какие пары чисел образуют десятичные приближения числа $\sqrt{31}$ с недостатком и избытком, нужно знать значение $\sqrt{31}$ примерно равно 5,57. Пара 5,5 и 5,6 даёт приближение с недостатком (5,5 < $\sqrt{31}$) и с избытком (5,6 > $\sqrt{31}$). **Задание 8:** Нужно понять, какое из равенств $|x| = x$ или $|x| = -x$ верно, если даны варианты для $x$. 1) $x = 5 - \sqrt{7}$. Так как $\sqrt{7}$ примерно 2,65, то $x$ будет положительным числом. Значит, $|x| = x$ (модуль равен самому числу). 2) $x = 4 - 3\sqrt{3}$. Так как $3\sqrt{3}$ примерно 5,2, то $x$ будет отрицательным числом. Значит, $|x| = -x$ (модуль равен числу с противоположным знаком). 3) $x = 5 - \sqrt{10}$. Так как $\sqrt{10}$ примерно 3,16, то $x$ будет положительным числом. Значит, $|x| = x$. **Задание 9:** Нужно выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения. 1) $(\sqrt{8} - 3)(3 + 2\sqrt{2})$ Упростим выражение: $(\sqrt{8} - 3)(3 + 2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2} - 3)(3 + 2\sqrt{2}) = 4 \cdot 2 - 9 = 8 - 9 = -1$. Это рациональное число. 2) $(\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3})$ Упростим выражение: $(\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3}) = (3\sqrt{3} - 2)(2 - 3\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} - 27 - 4 + 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} - 31$. Это иррациональное число, так как содержит $\sqrt{3}$. 3) $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2}) \sqrt{2}$ Упростим выражение: $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2}) \sqrt{2} = (5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) \sqrt{2} = 9\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18$. Это рациональное число. 4) $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3}$ Упростим выражение: $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3} = (5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3} = 8\sqrt{3} : \sqrt{3} = 8$. Это рациональное число. 5) $(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2$ Упростим выражение: $(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2 = (3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) = 4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 8$. Это рациональное число. 6) $(\sqrt{5} - 1)^2 - (2\sqrt{5} + 1)$ Упростим выражение: $(\sqrt{5} - 1)^2 - (2\sqrt{5} + 1) = (5 - 2\sqrt{5} + 1) - 2\sqrt{5} - 1 = 6 - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 1 = 5 - 4\sqrt{5}$. Это иррациональное число, так как содержит $\sqrt{5}$. **Задание 10:** Вычислим значения выражений: 1) $ \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} $. 2) $ \frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5} $. 3) $\sqrt{50} : \sqrt{8} = \sqrt{\frac{50}{8}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2,5$. 4) $\sqrt{12} : \sqrt{27} = \sqrt{\frac{12}{27}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.