Реши неравенство 12x² + x - 1 < 0

Решим неравенство $12x^2 + x - 1 < 0$. 1. Сначала найдем корни квадратного уравнения $12x^2 + x - 1 = 0$. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$, где $a = 12$, $b = 1$, $c = -1$. $$D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$$ 2. Теперь найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 + 7}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 - 7}{24} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$$ 3. Теперь, когда мы знаем корни, можем записать исходное неравенство в виде: $$12(x - \frac{1}{4})(x + \frac{1}{3}) < 0$$ 4. Определим интервалы, на которых выражение $12(x - \frac{1}{4})(x + \frac{1}{3})$ принимает отрицательные значения. Для этого нарисуем числовую прямую и отметим на ней корни $x_1 = \frac{1}{4}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$. ----(-1/3)----(1/4)----> 5. Рассмотрим знаки выражения на каждом из интервалов: * $x < -\frac{1}{3}$: $(x - \frac{1}{4}) < 0$ и $(x + \frac{1}{3}) < 0$, значит, $(x - \frac{1}{4})(x + \frac{1}{3}) > 0$. * $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{4}$: $(x - \frac{1}{4}) < 0$ и $(x + \frac{1}{3}) > 0$, значит, $(x - \frac{1}{4})(x + \frac{1}{3}) < 0$. * $x > \frac{1}{4}$: $(x - \frac{1}{4}) > 0$ и $(x + \frac{1}{3}) > 0$, значит, $(x - \frac{1}{4})(x + \frac{1}{3}) > 0$. 6. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, поэтому выбираем интервал, где выражение отрицательно: $(-\frac{1}{3}; \frac{1}{4})$. **Ответ:** $x \in (-\frac{1}{3}; \frac{1}{4})$