Ты просишь найти косинус бета, если углы альфа и бета смежные, и косинус альфа равен -1/6; определить, какой из углов острый, а какой тупой; вычислить значения выражений; вычислить значения тригонометрических функций для углов 135° и 150°; выяснить, существует ли угол альфа, для которого синус альфа равен 1/9.

3. 1) Смежные углы в сумме дают 180°. Если $\cos \alpha = -\frac{1}{6}$, то $\beta = \arccos(-\frac{1}{6})$. Так как косинус отрицательный, то угол $\beta$ тупой. 2) Угол $\alpha$ тупой, угол $\beta$ острый. 4. 1) $2 \sin 90^\circ + 3 \cos 0^\circ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5$ 2) $3 \sin 0^\circ - 5 \cos 180^\circ = 3 \cdot 0 - 5 \cdot (-1) = 0 + 5 = 5$ 3) $\tan 23^\circ \cdot \tan 0^\circ \cdot \tan 106^\circ = \tan 23^\circ \cdot 0 \cdot \tan 106^\circ = 0$ 4) $6 \tan 180^\circ + 5 \sin 180^\circ + \cot 90^\circ = 6 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 = 0 + 0 + 0 = 0$ 5) $\cos^2 165^\circ + \sin^2 165^\circ = 1$ (основное тригонометрическое тождество) 6) $\frac{\sin 0^\circ + \sin 90^\circ}{\cos 0^\circ - \cos 90^\circ} = \frac{0 + 1}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$ 5. 1) $4 \cos 90^\circ + 2 \cos 180^\circ - \cot 90^\circ = 4 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) - 0 = 0 - 2 - 0 = -2$ 2) $\cos 0^\circ - \cos 180^\circ + \sin 90^\circ = 1 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$ 6. 1) Если косинус угла равен 1, то синус угла равен 0. 2) Если косинус угла равен 0, то синус угла равен 1. 3) Если котангенс угла равен 1, то тангенс угла равен 1. 4) Если котангенс угла равен $-\frac{3}{2}$, то тангенс угла равен $-\frac{2}{3}$. 7. 1) Если синус угла равен 1, то косинус угла равен 0. 2) Если синус угла равен 0, то косинус угла равен 1. 3) Если тангенс угла равен -1, то котангенс угла равен -1. 4) Если тангенс угла равен 3, то котангенс угла равен $\frac{1}{3}$. 8. $\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \tan 135^\circ = -1, \cot 135^\circ = -1$ 9. $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}, \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}, \cot 150^\circ = -\sqrt{3}$ 10. 1) $\sin \alpha = \frac{1}{9}$. Да, существует. 2) $\cos \alpha = 9$. Нет, не существует, так как косинус не может быть больше 1. 3) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{5}$. Да, существует. 4) $\sin \alpha = 2$. Нет, не существует, так как синус не может быть больше 1. 5) $\cos \alpha = 1,001$. Нет, не существует, так как косинус не может быть больше 1.