Реши систему неравенств: {5(2x-1)-3(3x+6) <2, -2x+17≤0.}

1. Решим систему неравенств: * Первое неравенство: $$5(2x-1)-3(3x+6) < 2$$ Раскроем скобки: $$10x - 5 - 9x - 18 < 2$$ $$x - 23 < 2$$ $$x < 25$$ * Второе неравенство: $$-2x + 17 \le 0$$ $$-2x \le -17$$ $$x \ge \frac{17}{2}$$ $$x \ge 8.5$$ * Объединяем решения: $$8.5 \le x < 25$$ 2. Упростим выражение: $$3\sqrt{2} - \sqrt{50 - (\sqrt{32} - \sqrt{8})}$$ * Упростим корни: $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$ $$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$$ * Подставляем: $$3\sqrt{2} - \sqrt{50 - (4\sqrt{2} - 2\sqrt{2})}$$ $$3\sqrt{2} - \sqrt{50 - 2\sqrt{2}}$$ Дальше упростить не получится, так как корень не извлекается. 3. Решим уравнение: $4x^4 + 4x^2 - 3 = 0$. * Замена: $y = x^2$, тогда уравнение будет $4y^2 + 4y - 3 = 0$. * Решаем квадратное уравнение: $$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$$ $$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$$ * Обратная замена: $$x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x^2 = -\frac{3}{2}$$ - нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным. 4. Преобразуем выражение: $$\left( \frac{2xy}{4x^2 - 9y^2} + \frac{y}{3y - 2x} \right) : \left( \frac{2x - 3y}{2x + 3y} - 1 \right)$$ * Упростим первую скобку: $$\frac{2xy}{(2x - 3y)(2x + 3y)} - \frac{y}{2x - 3y} = \frac{2xy - y(2x + 3y)}{(2x - 3y)(2x + 3y)} = \frac{2xy - 2xy - 3y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)} = \frac{-3y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$$ * Упростим вторую скобку: $$\frac{2x - 3y}{2x + 3y} - 1 = \frac{2x - 3y - (2x + 3y)}{2x + 3y} = \frac{2x - 3y - 2x - 3y}{2x + 3y} = \frac{-6y}{2x + 3y}$$ * Делим первую скобку на вторую: $$\frac{-3y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)} : \frac{-6y}{2x + 3y} = \frac{-3y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)} \cdot \frac{2x + 3y}{-6y} = \frac{y}{2(2x - 3y)}$$ 5. Задача про катер: Пусть $v$ - собственная скорость катера. Тогда скорость по течению $v + 2$, против течения $v - 2$. Время по течению $\frac{40}{v + 2}$, против течения $\frac{6}{v - 2}$. $$\frac{40}{v + 2} + \frac{6}{v - 2} = 3$$ $$40(v - 2) + 6(v + 2) = 3(v + 2)(v - 2)$$ $$40v - 80 + 6v + 12 = 3(v^2 - 4)$$ $$46v - 68 = 3v^2 - 12$$ $$3v^2 - 46v + 56 = 0$$ $$D = (-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 2116 - 672 = 1444$$ $$v_1 = \frac{46 + \sqrt{1444}}{2 \cdot 3} = \frac{46 + 38}{6} = \frac{84}{6} = 14$$ $$v_2 = \frac{46 - \sqrt{1444}}{2 \cdot 3} = \frac{46 - 38}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ Второй корень не подходит, так как скорость против течения будет отрицательной. Значит, $v = 14$ км/ч. 6. Дополнительное задание: а) $5x^2 - 4x + 2a = 0$ имеет корень $x = 2$. $$5(2)^2 - 4(2) + 2a = 0$$ $$20 - 8 + 2a = 0$$ $$12 + 2a = 0$$ $$2a = -12$$ $$a = -6$$ б) Имеет два различных корня, значит, дискриминант больше нуля. $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (2a) > 0$$ $$16 - 40a > 0$$ $$40a < 16$$ $$a < \frac{16}{40}$$ $$a < \frac{2}{5}$$ в) Имеет только положительные корни. Для этого нужно, чтобы дискриминант был больше или равен нулю, сумма корней положительна и произведение корней положительно. $$a \le \frac{2}{5}$$ $$x_1 + x_2 = \frac{-(-4)}{5} = \frac{4}{5} > 0$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{2a}{5} > 0 \Rightarrow a > 0$$ Итак, $0 < a \le \frac{2}{5}$. г) Не имеет отрицательных корней. Это значит, что либо корни положительные, либо их нет вообще. $$a \ge \frac{2}{5}$$ **Ответы:** 1. $8.5 \le x < 25$ 2. $3\sqrt{2} - \sqrt{50 - 2\sqrt{2}}$ 3. $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 4. $\frac{y}{2(2x - 3y)}$ 5. 14 км/ч 6. а) -6; б) $a < \frac{2}{5}$; в) $0 < a \le \frac{2}{5}$; г) $a \ge \frac{2}{5}$