Можешь доказать, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если даны условия а)?

a) Если углы $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, то четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Это можно доказать, используя признаки параллелограмма. Смотри, если у четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, то это параллелограмм. Если $\angle BAC = \angle ACD$, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны (потому что $\angle BAC$ и $\angle ACD$ — накрест лежащие углы). Аналогично, если $\angle BCA = \angle DAC$, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны (по той же причине). б) Если $AB \| CD$ и $\angle A = \angle C$, то четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Тут нужно немного подумать, чтобы доказать. Во-первых, раз $AB \| CD$, то углы $\angle A$ и $\angle D$ — внутренние односторонние углы, а значит, в сумме дают $180^\circ$. То есть $\angle A + \angle D = 180^\circ$. Во-вторых, мы знаем, что $\angle A = \angle C$. Значит, можно заменить $\angle A$ на $\angle C$ в первом уравнении: $\angle C + \angle D = 180^\circ$. В-третьих, сумма всех углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Значит, $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. Мы знаем, что $\angle A = \angle C$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Подставим эти значения в уравнение: $\angle A + \angle B + 180^\circ = 360^\circ$. Отсюда получаем, что $\angle A + \angle B = 180^\circ$. В-четвертых, так как $\angle A + \angle B = 180^\circ$, а углы $\angle A$ и $\angle B$ — внутренние односторонние, то стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Значит, у четырехугольника $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны, и это параллелограмм!