Вычислить: (√24-√96) * 3√6

Конечно, давай решим эти примеры вместе! 1. Сначала упростим выражение в скобках: $\sqrt{24} - \sqrt{96} = \sqrt{4 \cdot 6} - \sqrt{16 \cdot 6} = 2\sqrt{6} - 4\sqrt{6} = -2\sqrt{6}$. Теперь умножим на $3\sqrt{6}$: $(-2\sqrt{6}) \cdot (3\sqrt{6}) = -6 \cdot 6 = -36$. **Ответ: -36** 2. Домножим каждое число в первой скобке на каждое число во второй скобке: $(5 - 4\sqrt{2})(9 + \sqrt{2}) = 5 \cdot 9 + 5 \cdot \sqrt{2} - 4\sqrt{2} \cdot 9 - 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 45 + 5\sqrt{2} - 36\sqrt{2} - 4 \cdot 2 = 45 - 8 + 5\sqrt{2} - 36\sqrt{2} = 37 - 31\sqrt{2}$. **Ответ: $37 - 31\sqrt{2}$** 3. Домножим каждое число в первой скобке на каждое число во второй скобке: $(5\sqrt{3} + 2\sqrt{21})(5\sqrt{3} - \sqrt{21}) = 5\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} - 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{21} + 2\sqrt{21} \cdot 5\sqrt{3} - 2\sqrt{21} \cdot \sqrt{21} = 25 \cdot 3 - 5\sqrt{63} + 10\sqrt{63} - 2 \cdot 21 = 75 - 42 + 5\sqrt{63} = 33 + 5\sqrt{9 \cdot 7} = 33 + 5 \cdot 3 \sqrt{7} = 33 + 15\sqrt{7}$. **Ответ: $33 + 15\sqrt{7}$** 4. Сначала раскроем скобки, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(2\sqrt{6} + 3\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{6})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 6 + 12\sqrt{12} + 9 \cdot 2 = 24 + 18 + 12\sqrt{4 \cdot 3} = 42 + 12 \cdot 2\sqrt{3} = 42 + 24\sqrt{3}$. Теперь вычтем $24\sqrt{3}$: $42 + 24\sqrt{3} - 24\sqrt{3} = 42$. **Ответ: 42** 5. Чтобы доказать, что $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = \sqrt{7} - 3$, возведём в квадрат обе части уравнения: $(\sqrt{16 - 6\sqrt{7}})^2 = (\sqrt{7} - 3)^2 \Rightarrow 16 - 6\sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 3 + 3^2 \Rightarrow 16 - 6\sqrt{7} = 7 - 6\sqrt{7} + 9 \Rightarrow 16 - 6\sqrt{7} = 16 - 6\sqrt{7}$. Так как обе части равны, утверждение верно. 6. Сначала упростим каждую скобку по отдельности. $(\sqrt{5} - 4)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 4 + 4^2 = 5 - 8\sqrt{5} + 16 = 21 - 8\sqrt{5}$. $(3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$. Теперь вычтем: $(21 - 8\sqrt{5}) - (14 + 6\sqrt{5}) = 21 - 14 - 8\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 7 - 14\sqrt{5}$. **Ответ: $7 - 14\sqrt{5}$** 7. Используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = \sqrt{109}$, $b = 3$. Тогда $(\sqrt{109} - 3)(\sqrt{109} + 3) = (\sqrt{109})^2 - 3^2 = 109 - 9 = 100$. Теперь извлечём квадратный корень: $\sqrt{100} = 10$. **Ответ: 10** 8. Сначала упростим $(\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$. Теперь умножим $(9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5})$. Снова используем формулу разности квадратов: $(9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - 16 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$. **Ответ: 1** 9. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. $\sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17 - 15)(17 + 15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$. **Ответ: 8** 10. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. $\sqrt{33.7^2 - 17.5^2} = \sqrt{(33.7 - 17.5)(33.7 + 17.5)} = \sqrt{16.2 \cdot 51.2} = \sqrt{829.44} = 28.8$. **Ответ: 28.8** 11. Сначала упростим выражение под корнем: $\sqrt{\frac{29}{75^2 - 46^2}} = \sqrt{\frac{29}{(75 - 46)(75 + 46)}} = \sqrt{\frac{29}{29 \cdot 121}} = \sqrt{\frac{1}{121}} = \frac{1}{11}$. **Ответ: $\frac{1}{11}$**