Реши уравнение $\frac{2}{x} + \frac{10}{x^2 - 2x} = \frac{1 + 2x}{x - 2}$

Привет! Давай разберемся с этими интересными уравнениями. ### а) Реши уравнение $\frac{2}{x} + \frac{10}{x^2 - 2x} = \frac{1 + 2x}{x - 2}$ Сначала найдём, какие значения $x$ нельзя использовать, чтобы знаменатели не превратились в ноль. Это важно, потому что на ноль делить нельзя! 1. $x \neq 0$ 2. $x^2 - 2x = x(x - 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 2$ 3. $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ Значит, $x$ не может быть равен $0$ или $2$. Теперь приведём все дроби к общему знаменателю, который будет $x(x - 2)$. $\frac{2 \cdot (x - 2)}{x(x - 2)} + \frac{10}{x(x - 2)} = \frac{(1 + 2x) \cdot x}{x(x - 2)}$ Когда знаменатели одинаковые и не равны нулю, мы можем просто приравнять числители: $2(x - 2) + 10 = (1 + 2x)x$ Раскроем скобки: $2x - 4 + 10 = x + 2x^2$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $2x^2 + x - 2x - 4 + 10 = 0$ $2x^2 - x + 6 = 0$ Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. У нас $a = 2$, $b = -1$, $c = 6$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6$ $D = 1 - 48$ $D = -47$ Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), это означает, что у уравнения нет действительных корней. Проще говоря, нет таких чисел, которые подходили бы под это уравнение. **Ответ: нет корней** ### б) Реши уравнение $\frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{12}{x^3 - 9x}$ Снова сначала определим, при каких значениях $x$ знаменатели становятся нулём: 1. $x^2 - 3x = x(x - 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 3$ 2. $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$ 3. $x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq -3$ Значит, $x$ не может быть равен $0$, $3$ или $-3$. Общий знаменатель для всех дробей будет $x(x - 3)(x + 3)$. Приведём все дроби к общему знаменателю: $\frac{2 \cdot (x + 3)}{x(x - 3)(x + 3)} - \frac{1 \cdot x(x - 3)}{x(x - 3)(x + 3)} = \frac{12}{x(x - 3)(x + 3)}$ Теперь, когда знаменатели одинаковые и не равны нулю, приравняем числители: $2(x + 3) - 1 \cdot x(x - 3) = 12$ Раскроем скобки: $2x + 6 - (x^2 - 3x) = 12$ $2x + 6 - x^2 + 3x = 12$ Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $-x^2 + 5x + 6 - 12 = 0$ $-x^2 + 5x - 6 = 0$ Умножим всё на $-1$, чтобы перед $x^2$ был плюс, так удобнее: $x^2 - 5x + 6 = 0$ Решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант, но здесь легко подобрать корни по теореме Виета. Сумма корней равна $5$, а произведение $6$. Это числа $2$ и $3$. $x_1 = 2$ $x_2 = 3$ Теперь нам нужно проверить, не совпадают ли эти корни с теми значениями $x$, которые мы исключили в самом начале (0, 3, -3). Корень $x_1 = 2$ подходит, он не равен $0, 3, -3$. Корень $x_2 = 3$ не подходит, потому что мы договорились, что $x \neq 3$. Значит, у уравнения есть только один корень. **Ответ: $x = 2$**