Привет! Давай вместе разберёмся с этими заданиями. Всё получится!
### 5. Каким из множеств N, Z, Q и R принадлежат числа:
* **N** — натуральные числа (для счёта: 1, 2, 3...)
* **Z** — целые числа (...-2, -1, 0, 1, 2...)
* **Q** — рациональные числа (любые дроби, конечные и периодические десятичные)
* **R** — действительные числа (все числа на числовой прямой, включая иррациональные, как $$\pi$$)
а) 6: принадлежит N, Z, Q, R (это натуральное, целое, рациональное и действительное число).
б) -1,98: принадлежит Q, R (это рациональное число, так как его можно записать в виде дроби -198/100, и действительное).
в) 0,5(87): принадлежит Q, R (это периодическая дробь, значит, число рациональное и действительное).
г) $$\pi$$: принадлежит R (это иррациональное число, поэтому оно только действительное).
### 6. Найдите три числа, которые принадлежат:
а) Z и R: любые три целых числа. Например: **-10, 0, 5**.
б) R и N: любые три натуральных числа. Например: **1, 25, 1000**.
в) Q и R: любые три рациональных числа. Например: **1/2, -4, 0.7**.
г) N, Q и R: любые три натуральных числа. Например: **3, 8, 42**.
### 7. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:
Чтобы превратить обычную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель.
а) $$ \frac{1}{3} = 0,333... = 0,(3) $$
б) $$ \frac{2}{3} = 0,666... = 0,(6) $$
в) $$ \frac{5}{6} = 0,8333... = 0,8(3) $$
г) $$ \frac{7}{9} = 0,777... = 0,(7) $$
д) $$ 1\frac{8}{11} = 1 + \frac{8}{11} = 1 + 0,7272... = 1,(72) $$
е) $$ 2\frac{4}{15} = 2 + \frac{4}{15} = 2 + 0,2666... = 2,2(6) $$
### 8. Представьте число в виде бесконечной десятичной дроби и округлите:
а) $$ \frac{1}{9} = 0,111... = 0,(1) $$
* до десятых: **0,1**
* до сотых: **0,11**
* до тысячных: **0,111**
б) $$ \frac{3}{32} = 0,09375 = 0,09375(0) $$
* до десятых: **0,1**
* до сотых: **0,09**
* до тысячных: **0,094**
в) $$ \frac{2}{7} = 0,285714... = 0,(285714) $$
* до десятых: **0,3**
* до сотых: **0,29**
* до тысячных: **0,286**
г) $$ \frac{13}{64} = 0,203125 = 0,203125(0) $$
* до десятых: **0,2**
* до сотых: **0,20**
* до тысячных: **0,203**
д) $$ \frac{37}{15} = 2,4666... = 2,4(6) $$
* до десятых: **2,5**
* до сотых: **2,47**
* до тысячных: **2,467**
е) $$ \frac{87}{65} = 1,3384615... = 1,3(384615) $$
* до десятых: **1,3**
* до сотых: **1,34**
* до тысячных: **1,338**
### 9. Проверьте, выполнив деление, что верно равенство:
а) $$ 2,(3) = 2\frac{1}{3} $$. Проверяем: $$ 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} = 7 \div 3 = 2,333... = 2,(3) $$. **Верно.**
б) $$ 0,1(6) = \frac{1}{6} $$. Проверяем: $$ 1 \div 6 = 0,1666... = 0,1(6) $$. **Верно.**
в) $$ 7,(18) = 7\frac{2}{11} $$. Проверяем: $$ 7\frac{2}{11} = \frac{79}{11} = 79 \div 11 = 7,1818... = 7,(18) $$. **Верно.**
г) $$ 3,4(6) = 3\frac{7}{15} $$. Проверяем: $$ 3\frac{7}{15} = \frac{52}{15} = 52 \div 15 = 3,4666... = 3,4(6) $$. **Верно.**
### 10. Докажите, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел... рациональные.
Давай докажем это просто. Рациональное число — это любое число, которое можно записать как дробь $$\frac{a}{b}$$, где $$a$$ и $$b$$ — целые числа, а $$b$$ не равно нулю.
Возьмём два таких числа: $$x = \frac{a}{b}$$ и $$y = \frac{c}{d}$$.
1. **Разность (вычитание):**
$$ x - y = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} $$
В результате получилась дробь, у которой и в числителе ($$ad - bc$$), и в знаменателе ($$bd$$) — целые числа. Знаменатель не равен нулю. Значит, разность — рациональное число.
2. **Произведение (умножение):**
$$ x \cdot y = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} $$
Здесь тоже получилась дробь из целых чисел. Значит, произведение — рациональное число.
3. **Частное (деление):**
$$ x \div y = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} $$
И снова в итоге дробь из целых чисел (мы знаем, что $$c$$ не равно нулю, так как делитель $$y$$ не ноль). Значит, частное — тоже рациональное число.
**Вывод:** любые действия (кроме деления на ноль) с рациональными числами снова дают рациональное число.
### 11. Запишите, используя знак ∈, утверждение:
*Примечание: в задании видна только часть а).*
Знак $$∈$$ означает «принадлежит» или «является элементом множества». Множество натуральных чисел обозначается буквой **N**.
а) Утверждение «число $$\frac{1}{3}$$ является натуральным» записывается так: $$ \frac{1}{3} \in N $$. (Кстати, это утверждение неверное, так как 1/3 — это дробь, а не натуральное число).
