Найди производную функции 1/4x^8 + 3sin(3x)

Привет! Давай разберёмся, как находить производные этих функций. Это совсем не страшно, главное — действовать по шагам. ### Задание 2 Нужно найти производную функции $y = \frac{1}{4}x^8 + 3\sin(3x)$. 1. **Разбиваем на части.** Производную суммы можно находить по частям: сначала для первого слагаемого, потом для второго. $$y' = (\frac{1}{4}x^8)' + (3\sin(3x))'$$ 2. **Находим производную первого слагаемого.** Используем правило для степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. $$(\frac{1}{4}x^8)' = \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot x^{8-1} = 2x^7$$ 3. **Находим производную второго слагаемого.** Это сложная функция. Сначала берём производную от синуса (это косинус), а потом умножаем на производную того, что было в скобках (аргумента). $$(3\sin(3x))' = 3 \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 3 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 9\cos(3x)$$ 4. **Собираем всё вместе.** Складываем то, что у нас получилось. $$y' = 2x^7 + 9\cos(3x)$$ **Ответ:** $y' = 2x^7 + 9\cos(3x)$ ### Задание 5 Теперь найдём производную для $y = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln(4x)$. 1. **Упрощаем вид функции.** Чтобы было удобнее, перепишем первое слагаемое с отрицательной степенью: $$y = \frac{1}{3}x^{-3} + \frac{1}{2}\ln(4x)$$ 2. **Берём производную по частям.** $$y' = (\frac{1}{3}x^{-3})' + (\frac{1}{2}\ln(4x))'$$ 3. **Производная первого слагаемого.** Снова используем правило для степенной функции. $$(\frac{1}{3}x^{-3})' = \frac{1}{3} \cdot (-3) \cdot x^{-3-1} = -1 \cdot x^{-4} = -\frac{1}{x^4}$$ 4. **Производная второго слагаемого.** Это тоже сложная функция. Производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Не забываем умножить на производную аргумента. $$(\frac{1}{2}\ln(4x))' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4x} \cdot (4x)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{4}{8x} = \frac{1}{2x}$$ 5. **Собираем ответ.** $$y' = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$$ **Ответ:** $y' = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$