За сколько дней выполнят этот заказ бригада из трёх рабочих разной квалификации?

Привет! Давай разберём эти задачки. Некоторые из них, например, №14 и №23, очень сложно разобрать на фото, поэтому я помогу с теми, что видны чётко. ### №15 Это задача на совместную работу. Чтобы её решить, нужно сложить производительность (скорость работы) всех рабочих. 1. Узнаем, какую часть заказа каждый рабочий выполняет за один день: * Рабочий высокой квалификации: $\frac{1}{12}$ заказа в день. * Опытный рабочий: $\frac{1}{20}$ заказа в день. * Рабочий низкой квалификации: $\frac{1}{30}$ заказа в день. 2. Теперь сложим их производительности, чтобы понять, какую часть заказа они выполнят вместе за один день: $$ \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} $$ Приведём дроби к общему знаменателю 60: $$ \frac{5}{60} + \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} $$ Вместе они делают $\frac{1}{6}$ заказа в день. 3. Чтобы найти, за сколько дней они выполнят весь заказ, нужно 1 (весь заказ) разделить на их общую производительность: $$ 1 : \frac{1}{6} = 1 \cdot 6 = 6 \text{ (дней)} $$ **Ответ: 6 дней** ### №16 Здесь нужно найти производительность сына, зная общую производительность и производительность отца. 1. Отец и сын вместе за 1 час красят $\frac{1}{12}$ забора. 2. Отец один за 1 час красит $\frac{1}{21}$ забора. 3. Чтобы найти производительность сына, вычтем из общей производительности производительность отца: $$ \frac{1}{12} - \frac{1}{21} $$ Общий знаменатель для 12 и 21 — это 84. $$ \frac{7}{84} - \frac{4}{84} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28} $$ Значит, сын за 1 час красит $\frac{1}{28}$ забора. 4. Следовательно, весь забор он покрасит за 28 часов. **Ответ: 28 часов** ### №17 Это задача на встречное движение. Скорости пешехода и велосипедиста складываются. 1. Скорость велосипедиста — $\frac{1}{16}$ пути в минуту. 2. Скорость пешехода — $\frac{1}{48}$ пути в минуту. 3. Найдём их общую скорость сближения: $$ \frac{1}{16} + \frac{1}{48} = \frac{3}{48} + \frac{1}{48} = \frac{4}{48} = \frac{1}{12} $$ За одну минуту они вместе преодолевают $\frac{1}{12}$ всего расстояния. 4. Чтобы найти время до встречи, делим всё расстояние (1) на скорость сближения: $$ 1 : \frac{1}{12} = 12 \text{ (минут)} $$ **Ответ: 12 минут** ### №18 **а)** Эта задачка решается так же, как и №16. 1. Два цеха вместе расходуют $\frac{1}{10}$ материалов в день. 2. Первый цех один расходует $\frac{1}{15}$ материалов в день. 3. Найдём, сколько расходует второй цех: $$ \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30} $$ Второй цех расходует $\frac{1}{30}$ материалов в день. 4. Значит, ему одному материалов хватит на 30 дней. **Ответ: 30 дней** **б)** И эта задачка очень похожа. 1. Два тракториста вместе вспахивают $\frac{1}{6}$ поля в час. 2. Первый тракторист один вспахивает $\frac{1}{10}$ поля в час. 3. Найдём производительность второго тракториста: $$ \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $$ Второй тракторист вспахивает $\frac{1}{15}$ поля в час. 4. Значит, всё поле он вспашет за 15 часов. **Ответ: 15 часов** ### №19 Здесь нужно разобраться со скоростями. 1. Пусть $S$ — расстояние. Скорость катера в стоячей воде (по озеру) $v_{к} = \frac{S}{6}$. 2. Скорость катера по течению реки $v_{к} + v_{т} = \frac{S}{5}$, где $v_{т}$ — скорость течения. 3. Подставим скорость катера в второе уравнение: $\frac{S}{6} + v_{т} = \frac{S}{5}$. 4. Отсюда найдём скорость течения: $v_{т} = \frac{S}{5} - \frac{S}{6} = \frac{6S - 5S}{30} = \frac{S}{30}$. 5. Плот плывёт со скоростью течения. Найдём время для плота: $t = \frac{S}{v_{т}} = \frac{S}{S/30} = 30$ часов. **Ответ: 30 часов** ### №20 Эта задача похожа на предыдущую. 1. Пусть $S$ — расстояние. Скорость плота — это и есть скорость течения реки: $v_{т} = \frac{S}{72}$. 2. Скорость катера по течению: $v_{к} + v_{т} = \frac{S}{8}$. 3. Найдём собственную скорость катера $v_{к}$ (как в озере): $$ v_{к} = (v_{к} + v_{т}) - v_{т} = \frac{S}{8} - \frac{S}{72} = \frac{9S}{72} - \frac{S}{72} = \frac{8S}{72} = \frac{S}{9} $$ 4. Время, которое катер потратит на этот же путь по озеру, равно $t = \frac{S}{v_{к}} = \frac{S}{S/9} = 9$ часов. **Ответ: 9 часов** ### №21 Снова задача на движение по воде. 1. Пусть $S$ — расстояние. Скорость лодки в стоячей воде (по озеру) $v_{л} = \frac{S}{4}$. 2. Скорость плота — это скорость течения реки: $v_{т} = \frac{S}{12}$. 3. Скорость лодки по течению: $v_{по} = v_{л} + v_{т} = \frac{S}{4} + \frac{S}{12} = \frac{3S}{12} + \frac{S}{12} = \frac{4S}{12} = \frac{S}{3}$. Время в пути по течению: $t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{S/3} = 3$ часа. 4. Скорость лодки против течения: $v_{против} = v_{л} - v_{т} = \frac{S}{4} - \frac{S}{12} = \frac{3S}{12} - \frac{S}{12} = \frac{2S}{12} = \frac{S}{6}$. Время в пути против течения: $t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{S/6} = 6$ часов. **Ответ: по течению — 3 часа, против течения — 6 часов.** ### №22 **1)** Эта задача на совместную работу, но немного хитрее. 1. Обозначим производительность бригад как $П_1, П_2, П_3$. Из условия мы знаем: * $П_1 + П_2 = \frac{1}{9}$ * $П_2 + П_3 = \frac{1}{12}$ * $П_1 + П_3 = \frac{1}{18}$ 2. Сложим все три уравнения: $$ (П_1+П_2) + (П_2+П_3) + (П_1+П_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{18} $$ Слева каждая производительность встречается дважды: $$ 2 \cdot (П_1+П_2+П_3) = \frac{4}{36} + \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $$ 3. Значит, общая производительность трёх бригад вместе: $$ П_1+П_2+П_3 = \frac{1}{4} : 2 = \frac{1}{8} $$ 4. Вместе они выполнят заказ за $1 : \frac{1}{8} = 8$ дней. **Ответ: 8 дней** **2)** Задача про бассейн решается точно так же. 1. Пусть производительности труб $Т_1, Т_2, Т_3$. Переведём время в минуты: 1 ч 10 мин = 70 мин; 1 ч 24 мин = 84 мин; 2 ч 20 мин = 140 мин. * $Т_1 + Т_2 = \frac{1}{70}$ * $Т_1 + Т_3 = \frac{1}{84}$ * $Т_2 + Т_3 = \frac{1}{140}$ 2. Складываем уравнения: $$ 2 \cdot (Т_1+Т_2+Т_3) = \frac{1}{70} + \frac{1}{84} + \frac{1}{140} $$ Общий знаменатель 420. $$ 2 \cdot (Т_1+Т_2+Т_3) = \frac{6}{420} + \frac{5}{420} + \frac{3}{420} = \frac{14}{420} = \frac{1}{30} $$ 3. Общая производительность трёх труб: $$ Т_1+Т_2+Т_3 = \frac{1}{30} : 2 = \frac{1}{60} $$ 4. Вместе они наполнят бассейн за $1 : \frac{1}{60} = 60$ минут, то есть за 1 час. **Ответ: 60 минут (или 1 час)**