Найди значение выражения (8/19 - 17/38) * 19/5

Привет! Давай разберёмся с этой контрольной. Я помогу тебе с каждым заданием. **1. Найдите значение выражения $(\frac{8}{19} - \frac{17}{38}) \cdot \frac{19}{5}$** Сначала посчитаем то, что в скобках. Чтобы вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 19 и 38 — это 38. $$ \frac{8}{19} = \frac{8 \cdot 2}{19 \cdot 2} = \frac{16}{38} $$ Теперь вычитаем: $$ \frac{16}{38} - \frac{17}{38} = -\frac{1}{38} $$ Осталось умножить результат на вторую дробь: $$ -\frac{1}{38} \cdot \frac{19}{5} = -\frac{1 \cdot 19}{38 \cdot 5} = -\frac{19}{190} $$ Сократим дробь на 19: $$ -\frac{19 \div 19}{190 \div 19} = -\frac{1}{10} = -0,1 $$ **Ответ: -0,1** **2. Какое из данных чисел принадлежит промежутку $[7; 8]$?** Чтобы понять, какой корень нам подходит, давай возведём концы промежутка в квадрат: $7^2 = 49$ $8^2 = 64$ Значит, нам нужно найти такое число под корнем, которое находится между 49 и 64. Проверим варианты: 1) $\sqrt{7}$ — 7 не между 49 и 64. 2) $\sqrt{8}$ — 8 не между 49 и 64. 3) $\sqrt{42}$ — 42 не между 49 и 64. 4) $\sqrt{61}$ — 61 как раз находится между 49 и 64. Значит, $\sqrt{61}$ находится между 7 и 8. **Правильный ответ: 4** **3. Какое из данных ниже выражений при любых значениях n равно произведению $36 \cdot 6^n$?** Давай представим число 36 как степень с основанием 6. Мы знаем, что $6 \cdot 6 = 36$, то есть $36 = 6^2$. Теперь заменим 36 в нашем выражении: $$ 36 \cdot 6^n = 6^2 \cdot 6^n $$ Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, их показатели складываются: $$ 6^2 \cdot 6^n = 6^{2+n} $$ Это то же самое, что и $6^{n+2}$. **Правильный ответ: 1** **4. Решите уравнение $x^2+3x-10=0$** Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем уравнении $a=1$, $b=3$, $c=-10$. $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 $$ Корень из дискриминанта $\sqrt{49} = 7$. Теперь найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ x_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5 $$ **Ответ: 2; -5** **5. Установите соответствие между графиками функций и формулами.** Давай посмотрим на каждый график: * **А)** Это парабола, ветви которой направлены вверх. Её вершина находится в точке (0, 2). Такая парабола описывается формулой $y = x^2 + 2$. Это формула **1**. * **Б)** Это прямая линия, которая проходит через начало координат (0, 0). Это график прямой пропорциональности $y=kx$. Линия проходит через точку (1, 2), значит, это формула $y=2x$. Это формула **3**. * **В)** Это гипербола, её ветви расположены во второй и четвёртой координатных четвертях. Такой график соответствует функции $y = \frac{k}{x}$ с $k < 0$. Это формула $y = -\frac{2}{x}$. Это формула **2**. Заполняем таблицу: | А | Б | В | |---|---|---| | 1 | 3 | 2 | **Ответ: 132** **6. Дана арифметическая прогрессия: –1, –3, –5, ... . Найдите десятый член этой прогрессии.** Первый член прогрессии $a_1 = -1$. Найдём разность прогрессии $d$. Для этого вычтем из второго члена первый: $$ d = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2 $$ Теперь найдём десятый член по формуле $a_n = a_1 + d(n-1)$: $$ a_{10} = -1 + (-2)(10-1) = -1 - 2 \cdot 9 = -1 - 18 = -19 $$ **Ответ: -19** **7. Упростите выражение $(1-2c)^2 - 4c(c+1)$ и найдите его значение при $c = -\frac{1}{4}$** Сначала упростим выражение. Раскроем скобки. $$ (1-2c)^2 = 1 - 4c + 4c^2 $$ $$ -4c(c+1) = -4c^2 - 4c $$ Теперь соберём всё вместе: $$ (1 - 4c + 4c^2) + (-4c^2 - 4c) = 1 - 4c + 4c^2 - 4c^2 - 4c = 1 - 8c $$ Теперь подставим значение $c = -\frac{1}{4}$: $$ 1 - 8 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = 1 + \frac{8}{4} = 1 + 2 = 3 $$ **Ответ: 3** **8. Укажите множество решений системы неравенств $\begin{cases} x > 1 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$** Решим каждое неравенство. Первое уже решено: $x > 1$. Решим второе: $4 - x > 0 \implies 4 > x$, или $x < 4$. Теперь нам нужно найти такие $x$, которые одновременно больше 1 и меньше 4. Это числа, которые лежат в интервале $(1; 4)$. **Ответ: (1; 4)** **Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y = 7 \\ 2x^2 - y = 5 \end{cases}$** Здесь удобно использовать метод сложения, потому что в уравнениях есть $+y$ и $-y$. Если мы сложим уравнения, $y$ исчезнет. $$ (x^2 + y) + (2x^2 - y) = 7 + 5 $$$$ 3x^2 = 12 $$ Теперь найдём $x^2$: $$ x^2 = \frac{12}{3} = 4 $$ Отсюда $x$ может быть равен 2 или -2. $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$ Теперь найдём $y$. Подставим $x^2 = 4$ в первое уравнение $x^2 + y = 7$: $$ 4 + y = 7 $$$$ y = 7 - 4 = 3 $$ Получается, что для обоих значений $x$ (и для 2, и для -2) значение $y$ будет одинаковым. **Ответ: (2; 3), (-2; 3)**