Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Тригонометрия может показаться сложной, но если знать нужные формулы, всё становится гораздо проще. Я помогу тебе всё понять!
### Задание 1306
1) Упростим выражение $cos^2(\alpha + 2\beta) + sin^2(\alpha - 2\beta) - 1$.
Сначала немного перегруппируем слагаемые, чтобы было удобнее применить формулу:
$$cos^2(\alpha + 2\beta) - (1 - sin^2(\alpha - 2\beta))$$
Вспомним основное тригонометрическое тождество: $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, из которого следует, что $1 - sin^2(x) = cos^2(x)$. Применим это к выражению в скобках:
$$cos^2(\alpha + 2\beta) - cos^2(\alpha - 2\beta)$$
Теперь используем формулу разности квадратов косинусов: $cos^2(A) - cos^2(B) = -sin(A+B)sin(A-B)$.
В нашем случае $A = \alpha + 2\beta$ и $B = \alpha - 2\beta$.
Найдём $A+B$ и $A-B$:
$A+B = (\alpha + 2\beta) + (\alpha - 2\beta) = 2\alpha$
$A-B = (\alpha + 2\beta) - (\alpha - 2\beta) = 4\beta$
Подставляем в формулу и получаем:
$$-sin(2\alpha)sin(4\beta)$$
**Ответ: $-sin(2\alpha)sin(4\beta)$**
2) Упростим выражение $sin^2(\alpha + 2\beta) + sin^2(\alpha - 2\beta) - 1$.
Здесь нам поможет формула понижения степени: $sin^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.
Применим её к каждому квадрату синуса:
$$\frac{1 - cos(2(\alpha + 2\beta))}{2} + \frac{1 - cos(2(\alpha - 2\beta))}{2} - 1$$
$$= \frac{1 - cos(2\alpha + 4\beta) + 1 - cos(2\alpha - 4\beta)}{2} - 1$$
$$= \frac{2 - (cos(2\alpha + 4\beta) + cos(2\alpha - 4\beta))}{2} - 1$$
$$= 1 - \frac{cos(2\alpha + 4\beta) + cos(2\alpha - 4\beta)}{2} - 1$$
$$= -\frac{cos(2\alpha + 4\beta) + cos(2\alpha - 4\beta)}{2}$$
Теперь для суммы косинусов в числителе используем формулу: $cos(A) + cos(B) = 2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$.
Здесь $A = 2\alpha + 4\beta$ и $B = 2\alpha - 4\beta$.
$A+B = 4\alpha$, значит $\frac{A+B}{2} = 2\alpha$.
$A-B = 8\beta$, значит $\frac{A-B}{2} = 4\beta$.
Получаем:
$$-\frac{2cos(2\alpha)cos(4\beta)}{2} = -cos(2\alpha)cos(4\beta)$$
**Ответ: $-cos(2\alpha)cos(4\beta)$**
### Задание 1307
1) Упростим дробь $\frac{cos(4\alpha) - cos(2\alpha)}{sin(3\alpha)sin(\alpha)}$.
Для числителя применим формулу разности косинусов: $cos(A) - cos(B) = -2sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$.
Здесь $A = 4\alpha$ и $B = 2\alpha$.
$A+B = 6\alpha$, значит $\frac{A+B}{2} = 3\alpha$.
$A-B = 2\alpha$, значит $\frac{A-B}{2} = \alpha$.
Числитель равен $-2sin(3\alpha)sin(\alpha)$. Подставим это в дробь:
$$\frac{-2sin(3\alpha)sin(\alpha)}{sin(3\alpha)sin(\alpha)}$$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе и получаем -2.
**Ответ: -2**
2) Упростим дробь $\frac{1 + cos(\alpha) + cos(2\alpha) + cos(3\alpha)}{cos(\alpha) + 2cos^2(\alpha) - 1}$.
Сначала поработаем со знаменателем. Заметим, что $2cos^2(\alpha) - 1$ — это формула косинуса двойного угла $cos(2\alpha)$.
Знаменатель: $cos(\alpha) + cos(2\alpha)$.
Теперь числитель. Сгруппируем слагаемые: $(1 + cos(2\alpha)) + (cos(\alpha) + cos(3\alpha))$.
Применим формулу $1+cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha)$ к первой скобке.
Ко второй скобке применим формулу суммы косинусов $cos(A) + cos(B) = 2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$:
$cos(\alpha) + cos(3\alpha) = 2cos(\frac{4\alpha}{2})cos(\frac{2\alpha}{2}) = 2cos(2\alpha)cos(\alpha)$.
Числитель стал: $2cos^2(\alpha) + 2cos(2\alpha)cos(\alpha)$.
Вынесем за скобку общий множитель $2cos(\alpha)$:
$2cos(\alpha)(cos(\alpha) + cos(2\alpha))$.
Теперь соберём всю дробь:
$$\frac{2cos(\alpha)(cos(\alpha) + cos(2\alpha))}{cos(\alpha) + cos(2\alpha)}$$
Сокращаем $(cos(\alpha) + cos(2\alpha))$ и остаётся $2cos(\alpha)$.
**Ответ: $2cos(\alpha)$**
### Задание 1308
1) Упростим дробь $\frac{4sin^2(\alpha) - sin^2(2\alpha)}{4 - 4sin^2(\alpha) - sin^2(2\alpha)}$.
Используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$.
Тогда $sin^2(2\alpha) = (2sin(\alpha)cos(\alpha))^2 = 4sin^2(\alpha)cos^2(\alpha)$.
Подставим это в числитель и знаменатель.
Числитель: $4sin^2(\alpha) - 4sin^2(\alpha)cos^2(\alpha) = 4sin^2(\alpha)(1-cos^2(\alpha)) = 4sin^2(\alpha) \cdot sin^2(\alpha) = 4sin^4(\alpha)$.
Знаменатель: $4 - 4sin^2(\alpha) - 4sin^2(\alpha)cos^2(\alpha) = 4(1 - sin^2(\alpha)) - 4sin^2(\alpha)cos^2(\alpha) = 4cos^2(\alpha) - 4sin^2(\alpha)cos^2(\alpha) = 4cos^2(\alpha)(1 - sin^2(\alpha)) = 4cos^2(\alpha) \cdot cos^2(\alpha) = 4cos^4(\alpha)$.
Теперь наша дробь выглядит так:
$$\frac{4sin^4(\alpha)}{4cos^4(\alpha)} = \frac{sin^4(\alpha)}{cos^4(\alpha)} = tg^4(\alpha)$$
**Ответ: $tg^4(\alpha)$**
2) Упростим дробь $\frac{tg^2(2\alpha)tg^2(\alpha) - 1}{tg^2(\alpha) - tg^2(2\alpha)}$.
Вынесем минус из числителя и знаменателя:
$$\frac{-(1 - tg^2(2\alpha)tg^2(\alpha))}{-(tg^2(2\alpha) - tg^2(\alpha))} = \frac{1 - tg^2(2\alpha)tg^2(\alpha)}{tg^2(2\alpha) - tg^2(\alpha)}$$
Это выражение похоже на перевёрнутую формулу произведения тангенсов суммы и разности углов:
$tg(A+B)tg(A-B) = \frac{tg^2(A) - tg^2(B)}{1 - tg^2(A)tg^2(B)}$.
Наше выражение — это обратная дробь, то есть:
$$\frac{1}{\frac{tg^2(2\alpha) - tg^2(\alpha)}{1 - tg^2(2\alpha)tg^2(\alpha)}} = \frac{1}{tg(2\alpha + \alpha)tg(2\alpha - \alpha)}$$
$$\frac{1}{tg(3\alpha)tg(\alpha)} = ctg(3\alpha)ctg(\alpha)$$
**Ответ: $ctg(3\alpha)ctg(\alpha)$**
