Найди $\cos \angle B$, если в остроугольном треугольнике $ABC$ высота $AH = 2\sqrt{14}$, а сторона $AB = 8\sqrt{2}$

Привет! Давай разберёмся с этой задачкой. У нас есть остроугольный треугольник $ABC$. Это значит, что все его углы меньше $90^{\circ}$. Ещё нам дана высота $AH = 2\sqrt{14}$. Высота $AH$ опускается из вершины $A$ на сторону $BC$ (или её продолжение). Раз треугольник остроугольный, точка $H$ будет лежать на отрезке $BC$. При этом $AH$ перпендикулярна $BC$, а значит, треугольник $ABH$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $H$. Также нам известна сторона $AB = 8\sqrt{2}$. Нам нужно найти $\cos \angle B$. Давай посмотрим на прямоугольный треугольник $ABH$. В нём: * $AH$ — это катет, который лежит напротив угла $B$. * $AB$ — это гипотенуза. В прямоугольном треугольнике синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. То есть: $$\sin \angle B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB}$$ Подставим известные значения: $$\sin \angle B = \frac{2\sqrt{14}}{8\sqrt{2}}$$ Сократим эту дробь. Мы можем разделить числитель и знаменатель на $2$, а также вспомнить, что $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{14}{2}} = \sqrt{7}$: $$\sin \angle B = \frac{1\sqrt{14}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$ Теперь, когда мы знаем $\sin \angle B$, мы можем найти $\cos \angle B$. Для этого нам понадобится основное тригонометрическое тождество, которое говорит нам, что квадрат синуса угла плюс квадрат косинуса того же угла равен $1$: $$\sin^2 \angle B + \cos^2 \angle B = 1$$ Отсюда мы можем выразить $\cos^2 \angle B$: $$\cos^2 \angle B = 1 - \sin^2 \angle B$$ И чтобы найти $\cos \angle B$, нужно взять квадратный корень: $$\cos \angle B = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \angle B}$$ Так как треугольник остроугольный, угол $B$ тоже острый (меньше $90^{\circ}$). А косинус острого угла всегда положительный. Поэтому мы выбираем знак плюс: $$\cos \angle B = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2}$$ Возведём дробь в квадрат: $$\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = \frac{(\sqrt{7})^2}{4^2} = \frac{7}{16}$$ Теперь подставим это значение обратно в формулу для косинуса: $$\cos \angle B = \sqrt{1 - \frac{7}{16}}$$ Чтобы вычесть дроби, приведём $1$ к общему знаменателю $16$: $1 = \frac{16}{16}$. $$\cos \angle B = \sqrt{\frac{16}{16} - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}}$$ Извлечём квадратный корень: $$\cos \angle B = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$$ **Ответ:** $\frac{3}{4}$