Реши тригонометрические уравнения а) $2 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ и б) $\sqrt{3} \text{tg}\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 3$

Привет! Давай вместе решим эти тригонометрические уравнения. а) Уравнение: $2 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ 1. Сначала давай разделим обе части уравнения на 2, чтобы получить $\cos(\text{угол}) = \text{число}$: $$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 2. Мы знаем, что косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ при углах $\pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число. Значит, выражение внутри косинуса может быть равно этим углам: $$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ 3. Теперь давай по очереди рассмотрим два случая: когда знак плюс и когда знак минус. * **Случай 1: со знаком плюс** $$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ Прибавим $\frac{\pi}{6}$ к обеим частям: $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ $$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$ Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$: $$x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$ * **Случай 2: со знаком минус** $$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ Прибавим $\frac{\pi}{6}$ к обеим частям: $$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ $$\frac{x}{2} = 0 + 2\pi n$$ Умножим обе части на 2: $$x = 4\pi n$$ **Ответ:** $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$ и $x = 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. б) Уравнение: $\sqrt{3} \text{tg}\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 3$ 1. Сначала давай разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$: $$\text{tg}\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{\sqrt{3}}$$ Вспомни, что $\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$. Значит: $$\text{tg}\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$$ 2. Мы знаем, что тангенс равен $\sqrt{3}$ при угле $\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Значит, выражение внутри тангенса может быть равно этому углу: $$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \pi k$$ 3. Теперь вычтем $\frac{\pi}{6}$ из обеих частей: $$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k$$ Приведём дроби к общему знаменателю: $$\frac{x}{3} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi k$$ $$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k$$ 4. Умножим обе части на 3, чтобы найти $x$: $$x = 3\left(\frac{\pi}{6} + \pi k\right)$$ $$x = \frac{3\pi}{6} + 3\pi k$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 3\pi k$$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.