Составь сумму и разность многочленов $7x^2 - 5x + 3$ и $7x^2 - 5$ и приведи их к стандартному виду

Привет! Давай разберёмся с этим заданием. Здесь нужно сложить и вычесть многочлены, а потом привести их к стандартному виду. Это значит, что сначала мы убираем все скобки, если они есть, а потом приводим подобные слагаемые – это те, у которых одинаковая буквенная часть с одинаковыми степенями. ### Задание 1. Составьте сумму и разность многочленов и приведите их к стандартному виду: 1) а) Даны многочлены $7x^2 - 5x + 3$ и $7x^2 - 5$. * **Сумма:** $$ (7x^2 - 5x + 3) + (7x^2 - 5) = 7x^2 - 5x + 3 + 7x^2 - 5 $$ Теперь объединяем подобные члены: $7x^2 + 7x^2 = 14x^2$, $3 - 5 = -2$. Член $-5x$ остаётся без изменений. $$ 14x^2 - 5x - 2 $$ * **Разность:** $$ (7x^2 - 5x + 3) - (7x^2 - 5) = 7x^2 - 5x + 3 - 7x^2 + 5 $$ Когда перед скобками минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Теперь объединяем подобные члены: $7x^2 - 7x^2 = 0$, $3 + 5 = 8$. Член $-5x$ остаётся без изменений. $$ -5x + 8 $$ б) Даны многочлены $3x + 1$ и $-3x^2 - 3x + 1$. * **Сумма:** $$ (3x + 1) + (-3x^2 - 3x + 1) = 3x + 1 - 3x^2 - 3x + 1 $$ Объединяем подобные члены: $3x - 3x = 0$, $1 + 1 = 2$. Член $-3x^2$ остаётся без изменений. Расположим члены по убыванию степени. $$ -3x^2 + 2 $$ * **Разность:** $$ (3x + 1) - (-3x^2 - 3x + 1) = 3x + 1 + 3x^2 + 3x - 1 $$ Меняем знаки внутри второй скобки, потому что перед ней минус. Теперь объединяем подобные члены: $3x + 3x = 6x$, $1 - 1 = 0$. Член $3x^2$ остаётся без изменений. Расположим члены по убыванию степени. $$ 3x^2 + 6x $$ в) Даны многочлены $a + 3b$ и $3a - 3b$. * **Сумма:** $$ (a + 3b) + (3a - 3b) = a + 3b + 3a - 3b $$ Объединяем подобные члены: $a + 3a = 4a$, $3b - 3b = 0$. $$ 4a $$ * **Разность:** $$ (a + 3b) - (3a - 3b) = a + 3b - 3a + 3b $$ Меняем знаки внутри второй скобки. Объединяем подобные члены: $a - 3a = -2a$, $3b + 3b = 6b$. $$ -2a + 6b $$ г) Даны многочлены $a^2 - 5ab - b^2$ и $a^2 + b^2$. * **Сумма:** $$ (a^2 - 5ab - b^2) + (a^2 + b^2) = a^2 - 5ab - b^2 + a^2 + b^2 $$ Объединяем подобные члены: $a^2 + a^2 = 2a^2$, $-b^2 + b^2 = 0$. Член $-5ab$ остаётся без изменений. $$ 2a^2 - 5ab $$ * **Разность:** $$ (a^2 - 5ab - b^2) - (a^2 + b^2) = a^2 - 5ab - b^2 - a^2 - b^2 $$ Меняем знаки внутри второй скобки. Объединяем подобные члены: $a^2 - a^2 = 0$, $-b^2 - b^2 = -2b^2$. Член $-5ab$ остаётся без изменений. $$ -5ab - 2b^2 $$ ### Задание 2. Составьте сумму и разность многочленов и приведите их к стандартному виду: 2) а) Даны многочлены $2y^2 + 8y - 11$ и $3y^2 - 6y + 3$. * **Сумма:** $$ (2y^2 + 8y - 11) + (3y^2 - 6y + 3) = 2y^2 + 8y - 11 + 3y^2 - 6y + 3 $$ Объединяем подобные члены: $2y^2 + 3y^2 = 5y^2$, $8y - 6y = 2y$, $-11 + 3 = -8$. $$ 5y^2 + 2y - 8 $$ * **Разность:** $$ (2y^2 + 8y - 11) - (3y^2 - 6y + 3) = 2y^2 + 8y - 11 - 3y^2 + 6y - 3 $$ Меняем знаки внутри второй скобки. Объединяем подобные члены: $2y^2 - 3y^2 = -y^2$, $8y + 6y = 14y$, $-11 - 3 = -14$. $$ -y^2 + 14y - 14 $$ б) Даны многочлены $9a^3 - a - 3$ и $9a^3 + a - 4$. * **Сумма:** $$ (9a^3 - a - 3) + (9a^3 + a - 4) = 9a^3 - a - 3 + 9a^3 + a - 4 $$ Объединяем подобные члены: $9a^3 + 9a^3 = 18a^3$, $-a + a = 0$, $-3 - 4 = -7$. $$ 18a^3 - 7 $$ * **Разность:** $$ (9a^3 - a - 3) - (9a^3 + a - 4) = 9a^3 - a - 3 - 9a^3 - a + 4 $$ Меняем знаки внутри второй скобки. Объединяем подобные члены: $9a^3 - 9a^3 = 0$, $-a - a = -2a$, $-3 + 4 = 1$. $$ -2a + 1 $$ в) Даны многочлены $4m^4 + 4m^2 - 13$ и $4m^4 - 4m^2 + 13$. * **Сумма:** $$ (4m^4 + 4m^2 - 13) + (4m^4 - 4m^2 + 13) = 4m^4 + 4m^2 - 13 + 4m^4 - 4m^2 + 13 $$ Объединяем подобные члены: $4m^4 + 4m^4 = 8m^4$, $4m^2 - 4m^2 = 0$, $-13 + 13 = 0$. $$ 8m^4 $$ * **Разность:** $$ (4m^4 + 4m^2 - 13) - (4m^4 - 4m^2 + 13) = 4m^4 + 4m^2 - 13 - 4m^4 + 4m^2 - 13 $$ Меняем знаки внутри второй скобки. Объединяем подобные члены: $4m^4 - 4m^4 = 0$, $4m^2 + 4m^2 = 8m^2$, $-13 - 13 = -26$. $$ 8m^2 - 26 $$ г) Даны многочлены $2p^2 + 3pq + 8q^2$ и $6p^2 - pq - 8q^2$. * **Сумма:** $$ (2p^2 + 3pq + 8q^2) + (6p^2 - pq - 8q^2) = 2p^2 + 3pq + 8q^2 + 6p^2 - pq - 8q^2 $$ Объединяем подобные члены: $2p^2 + 6p^2 = 8p^2$, $3pq - pq = 2pq$, $8q^2 - 8q^2 = 0$. $$ 8p^2 + 2pq $$ * **Разность:** $$ (2p^2 + 3pq + 8q^2) - (6p^2 - pq - 8q^2) = 2p^2 + 3pq + 8q^2 - 6p^2 + pq + 8q^2 $$ Меняем знаки внутри второй скобки. Объединяем подобные члены: $2p^2 - 6p^2 = -4p^2$, $3pq + pq = 4pq$, $8q^2 + 8q^2 = 16q^2$. $$ -4p^2 + 4pq + 16q^2 $$