Найди значение выражения $\frac{8^{1/2}}{16^{1/4}}$

Привет! Давай разберёмся с этим заданием. Нам нужно найти значение выражений, то есть посчитать, сколько получится в итоге. а) $\frac{8^{1/2}}{16^{1/4}}$ Сначала вспомним, что значит степень с дробью. Например, $a^{1/n}$ — это то же самое, что $\sqrt[n]{a}$. То есть, если в знаменателе дроби стоит число 2, это квадратный корень, а если 4 — корень четвёртой степени. Итак, наше выражение: $$ \frac{8^{1/2}}{16^{1/4}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt[4]{16}} $$ Теперь посчитаем корни: $\sqrt{8}$ можно записать как $\sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. $\sqrt[4]{16}$ — это какое число, которое, если умножить само на себя 4 раза, даст 16? Это 2, потому что $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Так что $\sqrt[4]{16} = 2$. Подставляем это обратно в выражение: $$ \frac{2\sqrt{2}}{2} $$ Двойки в числителе и знаменателе можно сократить: $$ \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$ **Ответ: $\sqrt{2}$** б) $\frac{81^{1/2}}{27^{2/3}}$ Здесь тоже используем правило для дробных степеней. $a^{m/n}$ — это то же самое, что $(\sqrt[n]{a})^m$ или $\sqrt[n]{a^m}$. Посмотрим на числитель: $81^{1/2}$ — это $\sqrt{81}$. Квадратный корень из 81 — это 9, потому что $9 \cdot 9 = 81$. Теперь знаменатель: $27^{2/3}$ — это $(\sqrt[3]{27})^2$. Сначала найдём кубический корень из 27. Какое число, умноженное само на себя 3 раза, даст 27? Это 3, потому что $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Теперь возводим этот результат в квадрат: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$. Подставляем эти значения обратно в выражение: $$ \frac{9}{9} $$ Делим 9 на 9: $$ \frac{9}{9} = 1 $$ **Ответ: 1**