Найди допустимые значения переменной, входящей в выражение: 2x - 5

Привет! Давай разберемся с этими выражениями. ### Задание 1: Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение. Допустимые значения переменной — это те значения, при которых выражение имеет смысл. Например, мы не можем делить на ноль или извлекать квадратный корень из отрицательного числа. В этих заданиях нам нужно следить, чтобы знаменатель не был равен нулю. 1) $2x - 5$ Это простое выражение, здесь нет деления, поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: все числа.** 2) $\frac{18}{m}$ Чтобы выражение имело смысл, знаменатель $m$ не должен быть равен нулю. $m \ne 0$ **Ответ: $m \ne 0$.** 3) $\frac{9}{x - 5}$ Знаменатель $x - 5$ не должен быть равен нулю. $x - 5 \ne 0$ $x \ne 5$ **Ответ: $x \ne 5$.** 4) $\frac{x - 5}{9}$ Здесь $x$ находится в числителе, а в знаменателе стоит число 9, которое никогда не будет нулем. Поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: все числа.** 5) $\frac{2 + y}{1 + y}$ Знаменатель $1 + y$ не должен быть равен нулю. $1 + y \ne 0$ $y \ne -1$ **Ответ: $y \ne -1$.** 6) $\frac{1}{x^2 + 4}$ Знаменатель $x^2 + 4$ не должен быть равен нулю. Мы знаем, что $x^2$ всегда больше или равен нулю, а если прибавить 4, то $x^2 + 4$ всегда будет больше нуля. Значит, он никогда не равен нулю. **Ответ: все числа.** 7) $\frac{5}{x^2 - 4}$ Знаменатель $x^2 - 4$ не должен быть равен нулю. Его можно разложить как $(x - 2)(x + 2)$. $(x - 2)(x + 2) \ne 0$ Это значит, что $x - 2 \ne 0$ и $x + 2 \ne 0$. $x \ne 2$ и $x \ne -2$ **Ответ: $x \ne 2$ и $x \ne -2$.** 8) $\frac{|x|}{|x| - 4}$ Знаменатель $|x| - 4$ не должен быть равен нулю. $|x| - 4 \ne 0$ $|x| \ne 4$ Это значит, что $x \ne 4$ и $x \ne -4$. **Ответ: $x \ne 4$ и $x \ne -4$.** 9) $\frac{2}{x - 2} + \frac{3x}{x + 1}$ Здесь у нас два знаменателя, и оба не должны быть равны нулю. $x - 2 \ne 0 \implies x \ne 2$ $x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$ **Ответ: $x \ne 2$ и $x \ne -1$.** 10) $\frac{x + 4}{x(x - 6)}$ Знаменатель $x(x - 6)$ не должен быть равен нулю. Это значит, что ни $x$, ни $x - 6$ не должны быть нулем. $x \ne 0$ $x - 6 \ne 0 \implies x \ne 6$ **Ответ: $x \ne 0$ и $x \ne 6$.** 11) $\frac{x}{|x| + 1}$ Знаменатель $|x| + 1$ не должен быть равен нулю. Мы знаем, что $|x|$ всегда больше или равен нулю, а если прибавить 1, то $|x| + 1$ всегда будет больше нуля. Значит, он никогда не равен нулю. **Ответ: все числа.** 12) $\frac{x^2}{(x - 3)(x + 5)}$ Знаменатель $(x - 3)(x + 5)$ не должен быть равен нулю. $x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3$ $x + 5 \ne 0 \implies x \ne -5$ **Ответ: $x \ne 3$ и $x \ne -5$.** ### Задание 2: При каких значениях переменной имеет смысл выражение: 1) $\frac{9}{y}$ Знаменатель $y$ не должен быть равен нулю. $y \ne 0$ **Ответ: $y \ne 0$.** 2) $\frac{x + 7}{x + 9}$ Знаменатель $x + 9$ не должен быть равен нулю. $x + 9 \ne 0$ $x \ne -9$ **Ответ: $x \ne -9$.** 3) $\frac{m - 1}{m^2 - 9}$ Знаменатель $m^2 - 9$ не должен быть равен нулю. Его можно разложить как $(m - 3)(m + 3)$. $(m - 3)(m + 3) \ne 0$ $m - 3 \ne 0 \implies m \ne 3$ $m + 3 \ne 0 \implies m \ne -3$ **Ответ: $m \ne 3$ и $m \ne -3$.** 4) $\frac{x}{|x| - 3}$ Знаменатель $|x| - 3$ не должен быть равен нулю. $|x| - 3 \ne 0$ $|x| \ne 3$ Это значит, что $x \ne 3$ и $x \ne -3$. **Ответ: $x \ne 3$ и $x \ne -3$.** 5) $\frac{4}{x - 8} + \frac{1}{x - 1}$ Оба знаменателя не должны быть равны нулю. $x - 8 \ne 0 \implies x \ne 8$ $x - 1 \ne 0 \implies x \ne 1$ **Ответ: $x \ne 8$ и $x \ne 1$.** 6) $\frac{2x - 3}{(x + 2)(x - 10)}$ Знаменатель $(x + 2)(x - 10)$ не должен быть равен нулю. $x + 2 \ne 0 \implies x \ne -2$ $x - 10 \ne 0 \implies x \ne 10$ **Ответ: $x \ne -2$ и $x \ne 10$.** ### Задание 3: Запишите рациональную дробь, которая имеет смысл при всех значениях x, кроме: 1) $x = 7$ Если $x$ не может быть 7, значит, в знаменателе должен быть множитель $(x - 7)$. Самый простой вариант: **Ответ: $\frac{1}{x - 7}$.** 2) $x = -1$ Если $x$ не может быть -1, значит, в знаменателе должен быть множитель $(x - (-1))$, то есть $(x + 1)$. **Ответ: $\frac{1}{x + 1}$.** 3) $x = 0$ и $x = 4$ Если $x$ не может быть 0 и 4, значит, в знаменателе должны быть множители $x$ и $(x - 4)$. **Ответ: $\frac{1}{x(x - 4)}$.** ### Задание 4: Запишите рациональную дробь, содержащую переменную y, допустимыми значениями которой являются: 1) все числа, кроме $y = 5$ Это значит, что $y - 5 \ne 0$. Значит, в знаменателе будет $(y - 5)$. **Ответ: $\frac{1}{y - 5}$.** 2) все числа, кроме $y = -2$ и $y = 0$ Это значит, что $y + 2 \ne 0$ и $y \ne 0$. Значит, в знаменателе будут $(y + 2)$ и $y$. **Ответ: $\frac{1}{y(y + 2)}$.** 3) все числа, кроме $y = -3$ и $y = 6$ Это значит, что $y + 3 \ne 0$ и $y - 6 \ne 0$. Значит, в знаменателе будут $(y + 3)$ и $(y - 6)$. **Ответ: $\frac{1}{(y + 3)(y - 6)}$.** 4) все числа Если $y$ может быть любым числом, это значит, что в знаменателе нет переменной или она всегда не равна нулю. Например: **Ответ: $\frac{1}{y^2 + 1}$ (или просто $\frac{1}{5}$, но обычно подразумевается, что переменная должна быть в выражении).**