Привет! Давай разберем задания из Варианта А2.
**1. Упростите выражения:**
а) $5x^2 \cdot (-3x^3)^2$
Сначала возведём в квадрат $(-3x^3)^2$. Помни, что $(-3)^2 = 9$ и $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.
Значит, $(-3x^3)^2 = 9x^6$.
Теперь умножим $5x^2$ на $9x^6$:
$5x^2 \cdot 9x^6 = (5 \cdot 9) \cdot (x^2 \cdot x^6) = 45x^{2+6} = 45x^8$.
**Ответ: $45x^8$**
б) $(2x - 1)^2 + (2x + 1)(2x - 1)$
Здесь используем две формулы сокращённого умножения:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Для $(2x - 1)^2$: $a=2x$, $b=1$. Получим $(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.
Для $(2x + 1)(2x - 1)$: $a=2x$, $b=1$. Получим $(2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$.
Теперь сложим эти два выражения:
$(4x^2 - 4x + 1) + (4x^2 - 1) = 4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 - 1 = (4x^2 + 4x^2) - 4x + (1 - 1) = 8x^2 - 4x$.
**Ответ: $8x^2 - 4x$**
**2. Разложите на множители:**
а) $b^2c - 9c$
Здесь видно, что общий множитель — это $c$. Вынесем его за скобки:
$b^2c - 9c = c(b^2 - 9)$.
Выражение в скобках $b^2 - 9$ — это разность квадратов, которую можно разложить как $(b-3)(b+3)$.
Значит, $c(b^2 - 9) = c(b-3)(b+3)$.
**Ответ: $c(b-3)(b+3)$**
б) $2a^2 + 12a + 18$
Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2a^2 + 12a + 18 = 2(a^2 + 6a + 9)$.
Выражение в скобках $a^2 + 6a + 9$ — это квадрат суммы, который можно записать как $(a+3)^2$, потому что $a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a+3)^2$.
Значит, $2(a^2 + 6a + 9) = 2(a+3)^2$.
**Ответ: $2(a+3)^2$**
**3. Решите уравнение:**
$\frac{x+2}{3} - 4x = 8$
Чтобы избавиться от дроби, умножим все части уравнения на 3:
$3 \cdot \frac{x+2}{3} - 3 \cdot 4x = 3 \cdot 8$
$(x+2) - 12x = 24$
Теперь раскроем скобки и соберём все $x$ с одной стороны, а числа — с другой:
$x + 2 - 12x = 24$
$-11x + 2 = 24$
Перенесём 2 в правую часть уравнения, изменив знак:
$-11x = 24 - 2$
$-11x = 22$
Чтобы найти $x$, разделим 22 на -11:
$x = \frac{22}{-11}$
$x = -2$
**Ответ: $x = -2$**
**4. Муку рассыпали в 8 одинаковых по весу пакетов, а сахар — в 6 таких же пакетов. Сколько весит мука и сколько весит сахар, если сахара было на 10 кг меньше?**
Пусть один пакет весит $y$ кг.
Тогда мука весит $8y$ кг (потому что 8 пакетов).
А сахар весит $6y$ кг (потому что 6 пакетов).
Нам известно, что сахара было на 10 кг меньше, чем муки. Это можно записать как уравнение:
Мука - Сахар = 10 кг
$8y - 6y = 10$
Вычтем $6y$ из $8y$:
$2y = 10$
Чтобы найти $y$, разделим 10 на 2:
$y = \frac{10}{2}$
$y = 5$ кг.
Значит, один пакет весит 5 кг.
Теперь найдём, сколько весит мука и сколько весит сахар:
Мука: $8y = 8 \cdot 5 = 40$ кг.
Сахар: $6y = 6 \cdot 5 = 30$ кг.
Проверим: $40 - 30 = 10$ кг. Всё верно!
**Ответ: Мука весит 40 кг, сахар весит 30 кг.**
**5. Постройте график функции $y = 3x - 5$. Найдите координаты точки пересечения этого графика с прямой $y = -5x + 11$.**
**Построение графика функции $y = 3x - 5$:**
Это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек.
Выберем любые два значения для $x$ и найдём соответствующие значения $y$:
1. Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 - 5 = -5$. (Точка $(0, -5)$)
2. Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$. (Точка $(2, 1)$)
На координатной плоскости отложи эти две точки и проведи через них прямую. Это и будет график функции $y = 3x - 5$.
**Нахождение координат точки пересечения:**
Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нужно приравнять их уравнения, потому что в точке пересечения значения $y$ у обеих функций одинаковы.
$3x - 5 = -5x + 11$
Перенесём все $x$ в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки при переносе:
$3x + 5x = 11 + 5$
$8x = 16$
Чтобы найти $x$, разделим 16 на 8:
$x = \frac{16}{8}$
$x = 2$
Теперь, когда мы знаем $x$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Давай подставим в первое: $y = 3x - 5$.
$y = 3 \cdot 2 - 5$
$y = 6 - 5$
$y = 1$
Итак, точка пересечения имеет координаты $(2, 1)$.
**Ответ: Координаты точки пересечения $(2, 1)$.**
