Укажи допустимые значения переменной в выражении $x^2 - 8x + 9$

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. Тут нужно найти, при каких значениях буквы (переменной) выражения имеют смысл или что-то равны. ### Задание 11. Укажите допустимые значения переменной в выражении: Допустимые значения переменной — это те значения, при которых выражение имеет смысл. Например, мы не можем делить на ноль, поэтому знаменатель дроби никогда не должен быть равен нулю. а) $x^2 - 8x + 9$; Это просто многочлен, здесь нет деления на переменную и нет квадратных корней. Значит, $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** б) $\frac{1}{6x-3}$; Здесь у нас есть дробь, а значит, знаменатель не должен быть равен нулю. Приравняем его к нулю и найдём, какое значение $x$ недопустимо: $$6x - 3 = 0$$ $$6x = 3$$ $$x = \frac{3}{6}$$ $$x = \frac{1}{2}$$ Значит, $x$ не может быть равен $\frac{1}{2}$. **Ответ: $x \neq \frac{1}{2}$.** в) $\frac{3x-6}{7}$; В этой дроби знаменатель — это просто число 7. Оно никогда не будет равно нулю. Значит, $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$; Тут знаменатель — это произведение $4x$ и $(x+1)$. Чтобы он не был равен нулю, каждый из множителей не должен быть равен нулю: $$4x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$$ $$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$$ Значит, $x$ не может быть равен 0 и $x$ не может быть равен -1. **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.** д) $\frac{x-5}{x^2+25} - 3x$; У нас есть дробь, и её знаменатель не должен быть равен нулю. Приравняем его к нулю: $$x^2 + 25 = 0$$ $$x^2 = -25$$ Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому $x^2 + 25$ никогда не будет равно нулю. Вторая часть выражения, $-3x$, это просто многочлен, там нет ограничений. **Ответ: $x$ — любое число.** е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x}$; Здесь у нас две дроби, и в каждой из них знаменатель не должен быть равен нулю. Для первой дроби: $$x+8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8$$ Для второй дроби: $$x \neq 0$$ Значит, $x$ не может быть равен -8 и $x$ не может быть равен 0. **Ответ: $x \neq -8$ и $x \neq 0$.** ### Задание 12. Найдите допустимые значения переменной в выражении: Повторяем то же самое: ищем, когда знаменатель равен нулю, чтобы исключить эти значения. а) $\frac{5y-8}{11}$; Знаменатель — это число 11, он никогда не равен нулю. Значит, $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое число.** б) $\frac{25}{y-9}$; Знаменатель не должен быть равен нулю: $$y-9 \neq 0 \Rightarrow y \neq 9$$ Значит, $y$ не может быть равен 9. **Ответ: $y \neq 9$.** в) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$; Знаменатель не должен быть равен нулю. Можно вынести $y$ за скобки: $$y^2-2y \neq 0$$ $$y(y-2) \neq 0$$ Значит, $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0$, то есть $y \neq 2$. **Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq 2$.** г) $\frac{y-10}{y^2+3}$; Знаменатель не должен быть равен нулю: $$y^2+3 \neq 0$$ Как и в задании 11(д), квадрат числа ($y^2$) всегда неотрицателен ($y^2 \ge 0$). Значит, $y^2+3$ всегда будет больше или равно 3. Оно никогда не равно нулю. Значит, $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое число.** д) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$; Здесь две дроби, и в каждой знаменатель не должен быть равен нулю. Для первой дроби: $$y-6 \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$$ Для второй дроби: $$y+6 \neq 0 \Rightarrow y \neq -6$$ Значит, $y$ не может быть равен 6 и $y$ не может быть равен -6. **Ответ: $y \neq 6$ и $y \neq -6$.** е) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$; Опять две дроби, и в каждой знаменатель не должен быть равен нулю. Для первой дроби: $$y \neq 0$$ Для второй дроби: $$y+7 \neq 0 \Rightarrow y \neq -7$$ Значит, $y$ не может быть равен 0 и $y$ не может быть равен -7. **Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq -7$.** ### Задание 13. Найдите область определения функции: Область определения функции — это все допустимые значения переменной, то есть такие значения, при которых функция имеет смысл. Это то же самое, что и допустимые значения в предыдущих заданиях. а) $y = \frac{1}{x-2}$; Знаменатель не должен быть равен нулю: $$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$$ **Ответ: $x \neq 2$.** б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$; Знаменатель не должен быть равен нулю: $$x(x+1) \neq 0$$ Значит, $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.** в) $y = x + \frac{1}{x+5}$; Тут есть дробь, и её знаменатель не должен быть равен нулю: $$x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$$ **Ответ: $x \neq -5$.** ### Задание 14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно: а) 1; Приравняем дробь к 1 и решим уравнение: $$\frac{x-3}{5} = 1$$ $$x-3 = 1 \cdot 5$$ $$x-3 = 5$$ $$x = 5 + 3$$ $$x = 8$$ **Ответ: $x = 8$.** б) 0; Чтобы дробь была равна 0, её числитель должен быть равен 0 (при условии, что знаменатель не 0, а у нас он 5). $$x-3 = 0$$ $$x = 3$$ **Ответ: $x = 3$.** в) -1; Приравняем дробь к -1 и решим уравнение: $$\frac{x-3}{5} = -1$$ $$x-3 = -1 \cdot 5$$ $$x-3 = -5$$ $$x = -5 + 3$$ $$x = -2$$ **Ответ: $x = -2$.** г) 3? Приравняем дробь к 3 и решим уравнение: $$\frac{x-3}{5} = 3$$ $$x-3 = 3 \cdot 5$$ $$x-3 = 15$$ $$x = 15 + 3$$ $$x = 18$$ **Ответ: $x = 18$.** ### Задание 15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. а) $\frac{y-5}{8}$; Числитель равен нулю: $$y-5 = 0$$ $$y = 5$$ Знаменатель 8 не равен нулю, так что всё в порядке. **Ответ: $y = 5$.** б) $\frac{2y+3}{10}$; Числитель равен нулю: $$2y+3 = 0$$ $$2y = -3$$ $$y = -\frac{3}{2}$$ Знаменатель 10 не равен нулю. **Ответ: $y = -\frac{3}{2}$.** в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$; Числитель $x(x-1)$ равен нулю, когда $x=0$ или $x-1=0$, то есть $x=1$. При этом знаменатель $x+4$ не должен быть равен нулю, то есть $x \neq -4$. Оба наших значения (0 и 1) не равны -4. **Ответ: $x=0$ или $x=1$.** г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$? Числитель $x(x+3)$ равен нулю, когда $x=0$ или $x+3=0$, то есть $x=-3$. Теперь посмотрим на знаменатель: $2x+6$. Он не должен быть равен нулю. Найдем, когда он равен нулю: $$2x+6 = 0$$ $$2x = -6$$ $$x = -3$$ Ой! Одно из значений, при котором числитель равен нулю ($x=-3$), делает и знаменатель равным нулю. А на ноль делить нельзя! Поэтому $x=-3$ не является допустимым значением, при котором дробь равна нулю. Значит, остается только $x=0$. **Ответ: $x=0$.** ### Задание 16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби: Это такое же задание, как 15, только сформулировано немного иначе. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. а) $\frac{m+4}{6}$; Числитель равен нулю: $$m+4 = 0$$ $$m = -4$$ Знаменатель 6 не равен нулю. **Ответ: $m = -4$.** б) $\frac{7-5n}{11}$; Числитель равен нулю: $$7-5n = 0$$ $$7 = 5n$$ $$n = \frac{7}{5}$$ Знаменатель 11 не равен нулю. **Ответ: $n = \frac{7}{5}$.** в) $\frac{b^2-b}{b+2}$; Числитель $b^2-b$ равен нулю. Вынесем $b$ за скобки: $$b(b-1) = 0$$ Значит, $b=0$ или $b-1=0$, то есть $b=1$. Знаменатель $b+2$ не должен быть равен нулю, то есть $b \neq -2$. Наши значения (0 и 1) не равны -2. **Ответ: $b=0$ или $b=1$.** г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$; Числитель $y^2-25$ равен нулю. Это формула разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $$(y-5)(y+5) = 0$$ Значит, $y-5=0$ (то есть $y=5$) или $y+5=0$ (то есть $y=-5$). Теперь проверим знаменатель $3y-15$. Он не должен быть равен нулю. Найдем, когда он равен нулю: $$3y-15 = 0$$ $$3y = 15$$ $$y = 5$$ Опять, одно из значений, при котором числитель равен нулю ($y=5$), делает и знаменатель равным нулю. Значит, $y=5$ не является допустимым значением. Остаётся только $y=-5$. **Ответ: $y=-5$.** ### Задание 17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: Напомню, что если мы делим два числа одного знака (плюс на плюс, минус на минус), то результат будет положительным. Если знаки разные (плюс на минус, минус на плюс), то результат будет отрицательным. а) $a > 0$ и $b > 0$; Если $a$ больше нуля (положительное) и $b$ больше нуля (положительное), то положительное число делим на положительное. Результат будет положительным. **Ответ: Дробь $\frac{a}{b}$ будет положительной ($>0$).** б) $a > 0$ и $b < 0$; Если $a$ больше нуля (положительное), а $b$ меньше нуля (отрицательное), то положительное число делим на отрицательное. Результат будет отрицательным. **Ответ: Дробь $\frac{a}{b}$ будет отрицательной ($<0$).**