Докажи, что хотя бы два математика попали друг в друга, если 10 математиков играли в снежки, и каждый попал снежком в пятерых.

Привет! Давай разберемся с этой интересной задачкой про снежки. Это задача на применение принципа Дирихле, его еще называют принципом голубей и клеток. Представь, что у нас есть голуби и клетки. Если голубей больше, чем клеток, то хотя бы в одной клетке окажется больше одного голубя. В нашей задаче: * **Голуби** — это попадания снежками. Каждый из 10 математиков попал снежком в пятерых, значит, всего было $10 \times 5 = 50$ попаданий. * **Клетки** — это возможные пары математиков, которые могли попасть друг в друга. Сколько всего таких пар? Каждый математик мог попасть в 9 других математиков. Но если один попал в другого, то это уже одна пара, а не две (например, Вася попал в Петю - это та же пара, что и Петя в Васю). Поэтому количество возможных уникальных пар можно посчитать так: $10 \times 9 / 2 = 45$ пар. Поскольку у нас 50 попаданий (голубей) и только 45 возможных пар (клеток), то по принципу Дирихле в какую-то одну пару должно быть больше одного попадания. А это и значит, что хотя бы два математика попали друг в друга. Может быть, кто-то попал в одного и того же два раза, или один математик попал в другого, а потом тот другой тоже попал в первого. Главное, что такая ситуация точно случится! **Доказательство:** 1. Всего было 10 математиков. 2. Каждый математик попал снежком в 5 других математиков. Значит, общее число попаданий снежками равно $10 \cdot 5 = 50$. 3. Рассмотрим все возможные пары математиков, которые могли попасть друг в друга. Число таких пар равно $$\frac{10 \cdot (10-1)}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$ 4. У нас 50 попаданий (голубей) и 45 возможных пар (клеток). Так как $50 > 45$, то по принципу Дирихле найдется хотя бы одна пара математиков, в которую было сделано более одного попадания. Это означает, что два математика попали друг в друга (либо один дважды попал в другого, либо каждый из них попал в другого).