Реши уравнение $(x^2 - 16)^2 + (x^2 + 2x - 8)^2 = 0$

Привет! Давай вместе решим это интересное уравнение. У нас есть сумма двух выражений в квадрате, и эта сумма равна нулю: $$(x^2 - 16)^2 + (x^2 + 2x - 8)^2 = 0$$ Смотри, если два числа в квадрате складываются и получается ноль, это может быть только в одном случае: когда каждое из этих чисел равно нулю. Ведь квадрат любого числа всегда либо положительный, либо равен нулю. Значит, мы можем разбить наше уравнение на два отдельных условия: 1. Первое выражение должно быть равно нулю: $$x^2 - 16 = 0$$ 2. Второе выражение тоже должно быть равно нулю: $$x^2 + 2x - 8 = 0$$ Давай решим каждое уравнение по очереди. **Решаем первое уравнение:** $$x^2 - 16 = 0$$ Это похоже на формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Здесь $a=x$ и $b=4$ (потому что $4^2 = 16$). $$(x - 4)(x + 4) = 0$$ Чтобы произведение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю: $$x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$$ $$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$$ Итак, корни первого уравнения: $4$ и $-4$. **Решаем второе уравнение:** $$x^2 + 2x - 8 = 0$$ Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В нашем уравнении $a=1$, $b=2$, $c=-8$. $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)$$ $$D = 4 + 32$$ $$D = 36$$ Теперь найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-2 \pm 6}{2}$$ Находим два корня: $$x_3 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_4 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Итак, корни второго уравнения: $2$ и $-4$. Чтобы наше изначальное уравнение было верным, **оба** условия должны выполняться **одновременно**. То есть, мы ищем общие корни у двух уравнений. Корни первого уравнения: $-4$, $4$ Корни второго уравнения: $-4$, $2$ Какой корень есть в обоих списках? Это число $-4$. Значит, только при $x = -4$ оба выражения в скобках будут равны нулю, и сумма их квадратов тоже будет равна нулю. **Ответ:** $-4$