Найди пределы выражений: а) $\lim_{x \to \infty} \frac{6x^3 + 4x^4 - 3x^2 + 3}{7x^4 + 2x^2}$; б) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1 + 8x^2} - 3}{x^2 - x}$; в) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{7x})^{4x}$

Привет! Давай вместе разберёмся с пределами. Это не так сложно, как кажется, главное — понять основные правила. а) $$ \lim_{x \to \infty} \frac{6x^3 + 4x^4 - 3x^2 + 3}{7x^4 + 2x^2} $$ Чтобы найти предел при $x \to \infty$, когда у нас есть дробь из многочленов, нужно посмотреть на самые старшие степени $x$ в числителе (сверху) и знаменателе (снизу). Если степени одинаковые, то предел равен отношению коэффициентов при этих степенях. В нашем случае: - В числителе самая большая степень $x^4$ с коэффициентом $4$. - В знаменателе самая большая степень $x^4$ с коэффициентом $7$. Значит, предел будет равен отношению этих коэффициентов: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{6x^3 + 4x^4 - 3x^2 + 3}{7x^4 + 2x^2} = \frac{4}{7} $$ **Ответ: $\frac{4}{7}$** б) $$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1 + 8x^2} - 3}{x^2 - x} $$ Сначала подставим $x=1$ в выражение. Если получим $\frac{0}{0}$, то это неопределённость, и нужно её раскрыть. Числитель: $\sqrt{1 + 8(1)^2} - 3 = \sqrt{1 + 8} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$ Знаменатель: $(1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$ У нас неопределённость $\frac{0}{0}$. Чтобы её раскрыть, домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение числителя: $\sqrt{1 + 8x^2} + 3$. $$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1 + 8x^2} - 3}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{1 + 8x^2} - 3)(\sqrt{1 + 8x^2} + 3)}{(x^2 - x)(\sqrt{1 + 8x^2} + 3)} $$ Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ в числителе: $$ = \lim_{x \to 1} \frac{(1 + 8x^2) - 3^2}{x(x - 1)(\sqrt{1 + 8x^2} + 3)} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{1 + 8x^2 - 9}{x(x - 1)(\sqrt{1 + 8x^2} + 3)} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{8x^2 - 8}{x(x - 1)(\sqrt{1 + 8x^2} + 3)} $$ Вынесем $8$ в числителе и разложим на множители $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$: $$ = \lim_{x \to 1} \frac{8(x^2 - 1)}{x(x - 1)(\sqrt{1 + 8x^2} + 3)} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{8(x - 1)(x + 1)}{x(x - 1)(\sqrt{1 + 8x^2} + 3)} $$ Теперь мы можем сократить $(x - 1)$, так как $x \to 1$, но $x \neq 1$: $$ = \lim_{x \to 1} \frac{8(x + 1)}{x(\sqrt{1 + 8x^2} + 3)} $$ Теперь подставим $x = 1$: $$ = \frac{8(1 + 1)}{1(\sqrt{1 + 8(1)^2} + 3)} $$ $$ = \frac{8(2)}{1(\sqrt{9} + 3)} $$ $$ = \frac{16}{3 + 3} $$ $$ = \frac{16}{6} $$ Сократим дробь: $$ = \frac{8}{3} $$ **Ответ: $\frac{8}{3}$** в) $$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{7x}\right)^{4x} $$ Это предел, который похож на формулу второго замечательного предела: $\lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = e$. Чтобы привести наш предел к этой формуле, нам нужно, чтобы в основании скобки был $1 + \frac{1}{y}$, а в степени — $y$. В нашем случае роль $y$ играет $7x$. Значит, нам нужна степень $7x$. Давай преобразуем выражение: $$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{7x}\right)^{4x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{7x}\right)^{7x \cdot \frac{4}{7}} $$ Теперь мы можем использовать свойство $(a^b)^c = a^{bc}$: $$ = \lim_{x \to \infty} \left( \left(1 + \frac{1}{7x}\right)^{7x} \right)^{\frac{4}{7}} $$ Поскольку $x \to \infty$, то и $7x \to \infty$. Значит, внутренняя скобка стремится к $e$: $$ = e^{\frac{4}{7}} $$ **Ответ: $e^{\frac{4}{7}}$**