Реши уравнение $\sqrt{x + 10} - \sqrt{x - 5} = 3$

Привет! Давай решим эти уравнения вместе. ### Уравнение 1: $\sqrt{x + 10} - \sqrt{x - 5} = 3$ 1. **Перенесём один корень в правую часть**, чтобы нам было удобнее возводить в квадрат: $$\sqrt{x + 10} = 3 + \sqrt{x - 5}$$ 2. **Возведём обе части уравнения в квадрат**. Помни, что $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$( \sqrt{x + 10} )^2 = (3 + \sqrt{x - 5})^2$$ $$x + 10 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x - 5} + (\sqrt{x - 5})^2$$ $$x + 10 = 9 + 6 \sqrt{x - 5} + x - 5$$ 3. **Упростим выражение**. Перенесём все, что без корня, в левую часть: $$x + 10 - 9 - x + 5 = 6 \sqrt{x - 5}$$ $$6 = 6 \sqrt{x - 5}$$ 4. **Разделим обе части на 6**: $$1 = \sqrt{x - 5}$$ 5. **Ещё раз возведём обе части в квадрат**, чтобы избавиться от корня: $$1^2 = (\sqrt{x - 5})^2$$ $$1 = x - 5$$ 6. **Найдём x**: $$x = 1 + 5$$ $$x = 6$$ 7. **Проверим наше решение**, подставив $x = 6$ в исходное уравнение. Это важно, потому что при возведении в квадрат могут появиться "лишние" корни: $$\sqrt{6 + 10} - \sqrt{6 - 5} = 3$$ $$\sqrt{16} - \sqrt{1} = 3$$ $$4 - 1 = 3$$ $$3 = 3$$ Всё верно! **Ответ: $x = 6$** ### Уравнение 2: $\sqrt{4x + 8} - \sqrt{3x - 2} = 2$ 1. **Перенесём один корень в правую часть**: $$\sqrt{4x + 8} = 2 + \sqrt{3x - 2}$$ 2. **Возведём обе части в квадрат**: $$( \sqrt{4x + 8} )^2 = (2 + \sqrt{3x - 2})^2$$ $$4x + 8 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3x - 2} + (\sqrt{3x - 2})^2$$ $$4x + 8 = 4 + 4 \sqrt{3x - 2} + 3x - 2$$ 3. **Упростим выражение**, перенесём все, что без корня, в левую часть: $$4x + 8 - 4 - 3x + 2 = 4 \sqrt{3x - 2}$$ $$x + 6 = 4 \sqrt{3x - 2}$$ 4. **Ещё раз возведём обе части в квадрат**, чтобы избавиться от корня. Помни, что $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(Ca)^2 = C^2 a^2$: $$(x + 6)^2 = (4 \sqrt{3x - 2})^2$$ $$x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3x - 2})^2$$ $$x^2 + 12x + 36 = 16 (3x - 2)$$ $$x^2 + 12x + 36 = 48x - 32$$ 5. **Перенесём все слагаемые в одну сторону** и приведём подобные члены, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 + 12x - 48x + 36 + 32 = 0$$ $$x^2 - 36x + 68 = 0$$ 6. **Решим квадратное уравнение** с помощью формулы корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Здесь $a = 1$, $b = -36$, $c = 68$. Найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68$$ $$D = 1296 - 272$$ $$D = 1024$$ Теперь найдём корни: $$x_1 = \frac{-(-36) + \sqrt{1024}}{2 \cdot 1} = \frac{36 + 32}{2} = \frac{68}{2} = 34$$ $$x_2 = \frac{-(-36) - \sqrt{1024}}{2 \cdot 1} = \frac{36 - 32}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ 7. **Проверим оба корня** в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они подходят. Важно проверить, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными, а также само уравнение. * **Проверка для $x = 34$:** $$\sqrt{4 \cdot 34 + 8} - \sqrt{3 \cdot 34 - 2} = 2$$ $$\sqrt{136 + 8} - \sqrt{102 - 2} = 2$$ $$\sqrt{144} - \sqrt{100} = 2$$ $$12 - 10 = 2$$ $$2 = 2$$ Подходит! * **Проверка для $x = 2$:** $$\sqrt{4 \cdot 2 + 8} - \sqrt{3 \cdot 2 - 2} = 2$$ $$\sqrt{8 + 8} - \sqrt{6 - 2} = 2$$ $$\sqrt{16} - \sqrt{4} = 2$$ $$4 - 2 = 2$$ $$2 = 2$$ Подходит! **Ответ: $x_1 = 34$, $x_2 = 2$**