Реши неравенство: $\sqrt{x^2 + 4x - 5} > x - 3$

Привет! Давай вместе решим это интересное неравенство с корнем. Когда у нас есть неравенство с корнем, мы должны рассмотреть несколько случаев. Главное правило: под корнем не может быть отрицательного числа, а ещё корень всегда неотрицательный. Наше неравенство: $$\sqrt{x^2 + 4x - 5} > x - 3$$ Разделим решение на два основных случая: **Случай 1: Правая часть неравенства (то есть $x - 3$) меньше нуля.** Если $x - 3 < 0$, это значит $x < 3$. В этом случае правая часть отрицательная, а левая часть (корень) всегда неотрицательна (то есть $\ge 0$). Получается, что неотрицательное число всегда больше отрицательного, если только корень определён. Поэтому нам нужно только убедиться, что выражение под корнем не отрицательное. Итак, для этого случая нам нужно решить два условия: 1. $x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3$ 2. $x^2 + 4x - 5 \ge 0$ Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$$ $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Так как парабола $y = x^2 + 4x - 5$ направлена ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, это положительное число), то $x^2 + 4x - 5 \ge 0$ при $x \le -5$ или $x \ge 1$. Теперь объединим условия $x < 3$ и ($x \le -5$ или $x \ge 1$). Давай нарисуем числовую прямую, чтобы было понятнее: Для $x < 3$: --------(3)---- Для $x \le -5$: ---[-5)-------- Для $x \ge 1$: --------[1)---- Объединяем: $(-\infty; -5]$ и $[1; 3)$. **Случай 2: Правая часть неравенства (то есть $x - 3$) больше или равна нулю.** Если $x - 3 \ge 0$, это значит $x \ge 3$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, не меняя знак неравенства: $$( \sqrt{x^2 + 4x - 5} )^2 > (x - 3)^2$$ $$x^2 + 4x - 5 > x^2 - 6x + 9$$ Перенесём всё в одну сторону, чтобы упростить: $$x^2 - x^2 + 4x + 6x - 5 - 9 > 0$$ $$10x - 14 > 0$$ $$10x > 14$$ $$x > \frac{14}{10}$$ $$x > 1.4$$ Также, как и в первом случае, нам нужно учесть, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 4x - 5 \ge 0$. Мы уже знаем, что это выполняется при $x \le -5$ или $x \ge 1$. Теперь объединим все условия для этого случая: $x \ge 3$, $x > 1.4$ и ($x \le -5$ или $x \ge 1$). Снова нарисуем числовую прямую: Для $x \ge 3$: ---------[3)---> Для $x > 1.4$: ---------(1.4)---> Для ($x \le -5$ или $x \ge 1$): Пересечение всех этих условий даёт нам интервал $x \ge 3$. **Объединяем решения из обоих случаев:** Из Случая 1: $(-\infty; -5]$ и $[1; 3)$ Из Случая 2: $[3; +\infty)$ Когда мы объединяем $[1; 3)$ и $[3; +\infty)$, мы получаем $[1; +\infty)$. Итак, окончательный ответ - это объединение $(-\infty; -5]$ и $[1; +\infty)$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty)$