1. Прямоугольная трапеция с углом в 45° вращается вокруг прямой, содержащей большее основание.

### Решение заданий КР № 14 #### 1. Площадь поверхности тела вращения Трапеция с основаниями $a=3, b=5$ и углом $45^\circ$. Высота $h = (5-3) \cdot \tan(45^\circ) = 2 \cdot 1 = 2$. При вращении вокруг большего основания образуется цилиндр (радиус $r=2$, высота $b=5$?) Нет, уточним: трапеция имеет стороны $3, 2, 2\sqrt{2}, 5$ (если прямоугольная). Вращение вокруг стороны $5$. Фигура состоит из цилиндра радиусом $2$ и высотой $3$, и конуса радиусом $2$ и высотой $2$. - Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_1 = 2\pi rh = 2\pi \cdot 2 \cdot 3 = 12\pi$. - Площадь боковой поверхности конуса: $S_2 = \pi rl = \pi \cdot 2 \cdot \sqrt{2^2+2^2} = 4\pi\sqrt{2}$. - Площадь основания (круга) цилиндра: $S_3 = \pi r^2 = \pi \cdot 4 = 4\pi$. Итого: $S = 12\pi + 4\pi\sqrt{2} + 4\pi = 16\pi + 4\pi\sqrt{2} = 4\pi(4+\sqrt{2})$. **Ответ:** $4\pi(4+\sqrt{2})$. #### 2. Конус в шаре Радиус шара $R$. Угол между образующей и основанием $\phi$. 1) Боковая поверхность конуса $S_{бок} = \pi rl$. Из геометрии сечения: $r = R\sin(2\phi)$, $l = 2R\sin\phi$. $S_{бок} = \pi (R\sin(2\phi)) (2R\sin\phi) = \pi (2R\sin\phi\cos\phi)(2R\sin\phi) = 4\pi R^2 \sin^2 \phi \cos \phi$. 2) При $\phi = 30^\circ$: $r = R\sin(60^\circ) = R\frac{\sqrt{3}}{2}$, высота конуса $h = 2R\sin^2(30^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{4} = \frac{R}{2}$. Площадь сечения (треугольник через вершину): $S = r \cdot h = \frac{R\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{R}{2} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$. **Ответ:** 1) $4\pi R^2 \sin^2 \phi \cos \phi$; 2) $\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$. #### 3*. Угол между плоскостями Сфера $x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 4$. Центр $(0,0,1)$, радиус $2$. - Точки пересечения: - $A (x,0,0) \Rightarrow x^2+1=4 \Rightarrow A(\sqrt{3}, 0, 0)$. - $B (0,y,0) \Rightarrow y^2+1=4 \Rightarrow B(0, \sqrt{3}, 0)$. - $C (0,0,z) \Rightarrow (z-1)^2=4 \Rightarrow z-1=2 \Rightarrow C(0, 0, 3)$. - Уравнение плоскости $ABC$: $\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{y}{\sqrt{3}} + \frac{z}{3} = 1$. Нормаль $\vec{n}_1 = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{3})$. - Плоскость $z=0$ имеет нормаль $\vec{n}_2 = (0,0,1)$. - $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{1/3}{\sqrt{1/3+1/3+1/9} \cdot 1} = \frac{1/3}{\sqrt{7/9}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$. **Ответ:** $\arccos(\frac{1}{\sqrt{7}})$.