1. Определить выработку рабочего, если продолжительность рабочего дня 6 часов, и задана функция производительности труда f(t) = t - 5t e^{t-8} + 3.

Для нахождения выработки рабочего при заданной функции производительности труда $f(t)$ необходимо вычислить определенный интеграл от этой функции на заданном промежутке времени. Функция производительности: $f(t) = t - 5t e^{t-8} + 3$. Интеграл функции: $\int (t - 5t e^{t-8} + 3) dt = \frac{t^2}{2} + 3t - 5 \int t e^{t-8} dt$. Для вычисления $\int t e^{t-8} dt$ воспользуемся методом интегрирования по частям: $u = t$, $dv = e^{t-8} dt ightharpoonup du = dt$, $v = e^{t-8}$. $\int t e^{t-8} dt = t e^{t-8} - \int e^{t-8} dt = t e^{t-8} - e^{t-8} = e^{t-8}(t-1)$. Итоговая первообразная $F(t) = \frac{t^2}{2} + 3t - 5e^{t-8}(t-1) + C$. а) За весь рабочий день (с $t=0$ до $t=6$): $\int_{0}^{6} f(t) dt = F(6) - F(0) = (\frac{36}{2} + 18 - 5e^{-2}(5)) - (0 + 0 - 5e^{-8}(-1)) = (36 - 25e^{-2}) - (5e^{-8}) = 36 - 25e^{-2} - 5e^{-8} \approx 36 - 3.383 - 0.002 = 32.615$. б) За пятый час работы (с $t=4$ до $t=5$): $\int_{4}^{5} f(t) dt = F(5) - F(4) = (\frac{25}{2} + 15 - 5e^{-3}(4)) - (\frac{16}{2} + 12 - 5e^{-4}(3)) = (27.5 - 20e^{-3}) - (20 - 15e^{-4}) = 7.5 - 20e^{-3} + 15e^{-4} \approx 7.5 - 0.996 + 0.275 = 6.779$. в) За последний час работы (с $t=5$ до $t=6$): $\int_{5}^{6} f(t) dt = F(6) - F(5) = (36 - 25e^{-2}) - (27.5 - 20e^{-3}) = 8.5 - 25e^{-2} + 20e^{-3} \approx 8.5 - 3.383 + 0.996 = 6.113$. г) Экономический анализ: Функция производительности труда показывает скорость производства продукции в момент времени $t$. - В начале дня производительность низкая (зависит от разогрева), затем может меняться. - Отрицательное влияние слагаемого $-5te^{t-8}$ показывает, что производительность резко падает к концу рабочего дня (при приближении $t$ к 8 часам), что может быть связано с накопленной усталостью рабочего. - Интегрирование позволяет найти объем произведенной продукции, который является площадью под кривой производительности.