Реши неравенство: $\sqrt{-x^2 - 2x + 8} \geq x + 4$

Привет! Давай разберёмся с этим неравенством. У нас есть неравенство с корнем: $$\sqrt{-x^2 - 2x + 8} \geq x + 4$$ Чтобы его решить, нужно учесть две важные вещи: 1. **Подкоренное выражение всегда должно быть неотрицательным**, потому что корень из отрицательного числа не существует в действительных числах. То есть, $$-x^2 - 2x + 8 \geq 0$$ 2. **Правая часть неравенства ($x+4$) может быть как отрицательной, так и неотрицательной.** От этого зависит, как мы будем дальше работать с неравенством. Разделим решение на два случая: **Случай 1: Правая часть отрицательна, то есть $x + 4 < 0$** В этом случае у нас получается, что корень (который всегда неотрицателен) больше или равен отрицательному числу. Это всегда верно, если только корень вообще существует (то есть подкоренное выражение неотрицательно). Значит, нужно найти пересечение двух условий: a) $$x + 4 < 0 \implies x < -4$$ b) $$-x^2 - 2x + 8 \geq 0$$ Умножим неравенство на -1, чтобы перед $x^2$ был плюс, при этом знак неравенства поменяется на противоположный: $$x^2 + 2x - 8 \leq 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$$ $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$ Теперь построим параболу $y = x^2 + 2x - 8$. Ветви параболы направлены вверх. Неравенство $x^2 + 2x - 8 \leq 0$ выполняется, когда график параболы находится ниже или на оси X. То есть, при $$-4 \leq x \leq 2$$ Теперь найдём пересечение условий (a) $x < -4$ и (b) $-4 \leq x \leq 2$. Если изобразить это на числовой прямой: Для (a): <----(-4)------------------- Для (b): -----[-4]------------[2]-----> Видно, что общего у этих двух промежутков нет. В точке $x=-4$ первый промежуток не включает её, а второй включает. Значит, в первом случае решений нет. **Случай 2: Правая часть неотрицательна, то есть $x + 4 ag{c} \geq 0$** В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, не меняя знак неравенства: $$(\sqrt{-x^2 - 2x + 8})^2 \geq (x + 4)^2$$ $$-x^2 - 2x + 8 \geq x^2 + 8x + 16$$ Перенесём все слагаемые в одну сторону: $$0 \geq x^2 + 8x + 16 + x^2 + 2x - 8$$ $$0 \geq 2x^2 + 10x + 8$$ Разделим всё на 2: $$0 \geq x^2 + 5x + 4$$ Или можно записать так: $$x^2 + 5x + 4 \leq 0 \tag{d}$$ Теперь найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$: $$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$$ $$x_1 = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Парабола $y = x^2 + 5x + 4$ с ветвями вверх. Неравенство $x^2 + 5x + 4 \leq 0$ выполняется, когда график находится ниже или на оси X. То есть, при $$-4 \leq x \leq -1$$ Теперь нужно учесть все условия для этого случая: c) $$x + 4 \geq 0 \implies x \geq -4$$ d) $$-4 \leq x \leq -1$$ а также не забыть про условие из пункта 1 (чтобы подкоренное выражение было неотрицательным): $$-4 \leq x \leq 2$$ (которое мы уже решали) Найдём пересечение всех трёх условий: Для (c): ----------[-4]-----------------> Для (d): -----[-4]----------[-1]--------> Для подкоренного: -----[-4]----------[-1]-----[2]-----> Общий промежуток, где выполняются все эти условия, это: $$-4 \leq x \leq -1$$ **Итоговое решение** Объединяем решения из Случая 1 и Случая 2. В Случае 1 решений не было. В Случае 2 мы получили $$-4 \leq x \leq -1$$ **Ответ:** $$[-4; -1]$$