Найди наименьшее и наибольшее значения функции y = x³ + 3x² - 45x - 3 на отрезке [-8; 8]

Привет! Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, нужно сделать несколько шагов: 1. **Найти производную функции.** Производная поможет нам узнать, где функция "растёт" или "убывает". $$y' = (x^3 + 3x^2 - 45x - 3)' = 3x^2 + 6x - 45$$ 2. **Приравнять производную к нулю и найти критические точки.** Это те точки, где функция может менять своё поведение (то есть, переходить от роста к убыванию или наоборот). $$3x^2 + 6x - 45 = 0$$ Поделим всё на 3, чтобы было легче считать: $$x^2 + 2x - 15 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или найти корни по теореме Виета (сумма корней -2, произведение -15). По теореме Виета: $$x_1 = -5$$ $$x_2 = 3$$ 3. **Выбрать те критические точки, которые попадают в заданный отрезок.** Нам дан отрезок $[-8; 8]$. - Точка $x_1 = -5$ попадает в отрезок $[-8; 8]$, так как $-8 \le -5 \le 8$. - Точка $x_2 = 3$ также попадает в отрезок $[-8; 8]$, так как $-8 \le 3 \le 8$. 4. **Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.** - В точке $x = -5$: $$y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) - 3 = -125 + 3(25) + 225 - 3 = -125 + 75 + 225 - 3 = 172$$ - В точке $x = 3$: $$y(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - 45(3) - 3 = 27 + 3(9) - 135 - 3 = 27 + 27 - 135 - 3 = 54 - 135 - 3 = -84$$ - На левом конце отрезка $x = -8$: $$y(-8) = (-8)^3 + 3(-8)^2 - 45(-8) - 3 = -512 + 3(64) + 360 - 3 = -512 + 192 + 360 - 3 = 37$$ - На правом конце отрезка $x = 8$: $$y(8) = (8)^3 + 3(8)^2 - 45(8) - 3 = 512 + 3(64) - 360 - 3 = 512 + 192 - 360 - 3 = 341$$ 5. **Сравнить все полученные значения и выбрать среди них наименьшее и наибольшее.** Полученные значения: $172$, $-84$, $37$, $341$. Наименьшее значение: $-84$ Наибольшее значение: $341$ **Ответ:** Наименьшее значение функции равно $-84$, наибольшее значение функции равно $341$.