Реши уравнение $2^x \cdot 3^x = 36^{x+2}$

Привет! Отличная задача по алгебре! Давай разберемся с этим уравнением по шагам. Наше уравнение выглядит так: $$2^x \cdot 3^x = 36^{x+2}$$ **Шаг 1: Упрощаем левую часть уравнения.** В левой части у нас произведение двух чисел с одинаковым показателем степени ($x$). Мы можем использовать свойство степеней: если у двух чисел одинаковый показатель, то их произведение можно записать как произведение оснований, возведенное в этот показатель. Это свойство выглядит так: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Применим его к нашей левой части: $$2^x \cdot 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x$$ Теперь наше уравнение стало выглядеть проще: $$6^x = 36^{x+2}$$ **Шаг 2: Приводим правую часть к основанию 6.** Мы видим, что на левой стороне у нас основание 6. На правой стороне у нас число 36. Мы знаем, что 36 — это $6^2$. Давай заменим 36 на $6^2$ в правой части уравнения: $$36^{x+2} = (6^2)^{x+2}$$ Теперь используем еще одно свойство степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Это значит, что если степень возводится в другую степень, то показатели степеней перемножаются. Применим это свойство к правой части: $$(6^2)^{x+2} = 6^{2 \cdot (x+2)}$$ Раскроем скобки в показателе степени: $$2 \cdot (x+2) = 2x + 2 \cdot 2 = 2x + 4$$ Значит, правая часть уравнения теперь выглядит как $6^{2x+4}$. Теперь наше уравнение выглядит так: $$6^x = 6^{2x+4}$$ **Шаг 3: Приравниваем показатели степеней.** Теперь, когда у нас обе части уравнения имеют одинаковое основание (число 6), мы можем приравнять их показатели степени. Это делается по правилу: если $a^m = a^n$ и $a \ne 0, a \ne 1, a \ne -1$, то $m = n$. В нашем случае, $m = x$ и $n = 2x+4$. Значит, мы можем записать: $$x = 2x+4$$ **Шаг 4: Решаем получившееся линейное уравнение.** Это простое линейное уравнение. Нам нужно найти значение $x$. Перенесем все $x$ в одну сторону, а числа в другую. Вычтем $x$ из обеих частей уравнения: $$x - x = 2x - x + 4$$ $$0 = x + 4$$ Теперь вычтем 4 из обеих частей уравнения: $$0 - 4 = x$$ $$-4 = x$$ Итак, мы нашли значение $x$. **Ответ: $x = -4$**