Какое из чисел $\sqrt{80}; \sqrt{0,49}; \sqrt{17\frac{1}{9}}$ является рациональным?

Привет! С удовольствием помогу тебе разобраться с этими задачками. Они про рациональные числа. Для начала давай вспомним, что такое рациональное число. **Рациональное число** – это такое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ – это целое число (то есть 0, 1, 2, -1, -2 и так далее), а $q$ – натуральное число (то есть 1, 2, 3 и так далее). Важно, чтобы $q$ не равнялось нулю. Проще говоря, рациональные числа – это целые числа, обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби. Например: 5 (это $\frac{5}{1}$), 0,25 (это $\frac{1}{4}$), $0,333...$ (это $\frac{1}{3}$). А вот числа, которые нельзя представить в виде такой дроби (например, $\sqrt{2}$ или $\pi$), называются **иррациональными**. Теперь давай разберем каждое задание по очереди. --- ### Задание 576. Какое из чисел $\sqrt{80}; \sqrt{0,49}; \sqrt{17\frac{1}{9}}$ является рациональным? Нужно проверить каждое число. **1) Проверим $\sqrt{80}$:** Чтобы понять, является ли $\sqrt{80}$ рациональным числом, нужно определить, является ли число 80 точным квадратом какого-либо целого числа. Мы знаем, что $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$. Поскольку 80 находится между 64 и 81 и не является точным квадратом целого числа, то $\sqrt{80}$ не извлекается нацело. Это означает, что $\sqrt{80}$ – это бесконечная непериодическая десятичная дробь, и её нельзя представить в виде $\frac{p}{q}$. Значит, $\sqrt{80}$ – это иррациональное число. **2) Проверим $\sqrt{0,49}$:** Десятичную дробь 0,49 можно записать как обыкновенную дробь: $$0,49 = \frac{49}{100}$$ Теперь извлечем корень из этой дроби: $$\sqrt{0,49} = \sqrt{\frac{49}{100}}$$ Мы можем извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя: $$\sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}}$$ Извлекаем корни: $$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}} = \frac{7}{10}$$ Число $\frac{7}{10}$ – это обыкновенная дробь, а значит, это рациональное число. **3) Проверим $\sqrt{17\frac{1}{9}}$:** Сначала переведем смешанное число $17\frac{1}{9}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть (17) на знаменатель (9) и прибавим числитель (1): $$17\frac{1}{9} = \frac{17 \times 9 + 1}{9} = \frac{153 + 1}{9} = \frac{154}{9}$$ Теперь извлечем корень из этой дроби: $$\sqrt{17\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{154}{9}}$$ Разделим корень на числитель и знаменатель: $$\sqrt{\frac{154}{9}} = \frac{\sqrt{154}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{154}}{3}$$ Теперь посмотрим на число 154. Является ли оно точным квадратом? $12^2 = 144$ $13^2 = 169$ Поскольку 154 не является точным квадратом, $\sqrt{154}$ – это иррациональное число. А если в дроби есть иррациональное число, то и вся дробь будет иррациональной. Значит, $\sqrt{17\frac{1}{9}}$ – это иррациональное число. **Вывод по заданию 576:** Из всех предложенных чисел только $\sqrt{0,49}$ является рациональным. **Правильный ответ: 2** --- ### Задание 577. Какое из чисел $\sqrt{3}; \sqrt{0,008}; \sqrt{1\frac{9}{16}}$ является рациональным? Снова проверим каждое число. **1) Проверим $\sqrt{3}$:** Является ли число 3 точным квадратом какого-либо целого числа? Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Поскольку 3 не является точным квадратом, $\sqrt{3}$ не извлекается нацело. Это бесконечная непериодическая десятичная дробь. Значит, $\sqrt{3}$ – это иррациональное число. **2) Проверим $\sqrt{0,008}$:** Запишем десятичную дробь 0,008 как обыкновенную дробь: $$0,008 = \frac{8}{1000}$$ Теперь извлечем корень из этой дроби: $$\sqrt{0,008} = \sqrt{\frac{8}{1000}}$$ Мы можем упростить дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 8: $$\frac{8}{1000} = \frac{8 \div 8}{1000 \div 8} = \frac{1}{125}$$ Теперь извлечем корень: $$\sqrt{\frac{1}{125}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{125}} = \frac{1}{\sqrt{125}}$$ Чтобы понять, является ли $\frac{1}{\sqrt{125}}$ рациональным числом, нужно понять, является ли 125 точным квадратом. $11^2 = 121$ $12^2 = 144$ 125 не является точным квадратом, поэтому $\sqrt{125}$ – это иррациональное число. Значит, $\sqrt{0,008}$ – это иррациональное число. **3) Проверим $\sqrt{1\frac{9}{16}}$:** Сначала переведем смешанное число $1\frac{9}{16}$ в неправильную дробь: $$1\frac{9}{16} = \frac{1 \times 16 + 9}{16} = \frac{16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$$ Теперь извлечем корень из этой дроби: $$\sqrt{1\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}}$$ Разделим корень на числитель и знаменатель: $$\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$$ Извлекаем корни: $$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$$ Число $\frac{5}{4}$ – это обыкновенная дробь, а значит, это рациональное число. **Вывод по заданию 577:** Из всех предложенных чисел только $\sqrt{1\frac{9}{16}}$ является рациональным. **Правильный ответ: 3**