Привет! С удовольствием помогу тебе разобраться с этими выражениями. Давай посчитаем каждое по очереди, шаг за шагом.
***
### Задание 562. Найдите значение выражения $\frac{\sqrt{150} \cdot \sqrt{108}}{\sqrt{180}}$.
Чтобы решить это выражение, мы сначала упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня, а затем выполним действия.
1. **Упрощаем корни:**
* Для $\sqrt{150}$: Число 150 можно разложить на множители так, чтобы один из них был полным квадратом. Например, $150 = 25 \cdot 6$.
Тогда $\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{6} = 5\sqrt{6}$.
* Для $\sqrt{108}$: Разложим 108 на множители. $108 = 36 \cdot 3$.
Тогда $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
* Для $\sqrt{180}$: Разложим 180 на множители. $180 = 36 \cdot 5$.
Тогда $\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.
2. **Подставляем упрощенные корни в выражение:**
$$ \frac{5\sqrt{6} \cdot 6\sqrt{3}}{6\sqrt{5}} $$
3. **Выполняем умножение в числителе:**
Когда мы умножаем корни, мы можем умножить числа перед корнями и числа под корнями отдельно.
$$ 5\sqrt{6} \cdot 6\sqrt{3} = (5 \cdot 6) \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}) = 30 \cdot \sqrt{6 \cdot 3} = 30\sqrt{18} $$
4. **Упрощаем корень в числителе ($\sqrt{18}$):**
$$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} $$
Теперь наш числитель становится:
$$ 30 \cdot 3\sqrt{2} = 90\sqrt{2} $$
5. **Переписываем исходное выражение с новыми значениями:**
$$ \frac{90\sqrt{2}}{6\sqrt{5}} $$
6. **Делим числа и корни отдельно:**
$$ \frac{90}{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} $$
7. **Избавляемся от корня в знаменателе (рационализируем знаменатель):**
Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$.
$$ 15 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} $$
8. **Завершаем вычисления:**
$$ \frac{15\sqrt{10}}{5} = 3\sqrt{10} $$
**Ответ: 2) $3\sqrt{10}$**
***
### Задание 564. Найдите значение выражения $2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot 8\sqrt{6}$.
Чтобы умножить такие выражения, мы сначала перемножим все числа, стоящие перед корнями, а затем перемножим все числа под корнями.
1. **Группируем числовые коэффициенты и корни:**
$$ (2 \cdot 1 \cdot 8) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}) $$
2. **Умножаем числовые коэффициенты:**
$$ 2 \cdot 1 \cdot 8 = 16 $$
3. **Умножаем корни:**
Помни, что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$$ \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 2 \cdot 6} = \sqrt{6 \cdot 6} = \sqrt{36} $$
4. **Вычисляем $\sqrt{36}$:**
$$ \sqrt{36} = 6 $$
5. **Перемножаем полученные результаты:**
$$ 16 \cdot 6 = 96 $$
**Ответ: 2) 96**
***
### Задание 565. Найдите значение выражения $2\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot 8\sqrt{3}$.
Это выражение очень похоже на предыдущее. Решаем его так же.
1. **Группируем числовые коэффициенты и корни:**
$$ (2 \cdot 1 \cdot 8) \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) $$
2. **Умножаем числовые коэффициенты:**
$$ 2 \cdot 1 \cdot 8 = 16 $$
3. **Умножаем корни:**
$$ \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} $$
4. **Вычисляем $\sqrt{36}$:**
$$ \sqrt{36} = 6 $$
5. **Перемножаем полученные результаты:**
$$ 16 \cdot 6 = 96 $$
**Ответ: 1) 96**
***
### Задание 570. Найдите значение выражения $(\sqrt{86} + 4)^2$.
Здесь нам нужно использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
1. **Определяем $a$ и $b$:**
В нашем выражении $(\sqrt{86} + 4)^2$:
* $a = \sqrt{86}$
* $b = 4$
2. **Применяем формулу квадрата суммы:**
$$ (\sqrt{86} + 4)^2 = (\sqrt{86})^2 + 2 \cdot \sqrt{86} \cdot 4 + 4^2 $$
3. **Вычисляем каждое слагаемое:**
* $(\sqrt{86})^2 = 86$ (Помни, что квадратный корень, возведенный в квадрат, дает число под корнем).
* $2 \cdot \sqrt{86} \cdot 4 = 8\sqrt{86}$
* $4^2 = 16$
4. **Собираем все слагаемые вместе:**
$$ 86 + 8\sqrt{86} + 16 $$
5. **Складываем числовые значения:**
$$ 86 + 16 = 102 $$
6. **Записываем окончательный результат:**
$$ 102 + 8\sqrt{86} $$
**Ответ: 2) $102 + 8\sqrt{86}$**
