Решите уравнение и укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение вместе. а) Решим уравнение $$2 \sin^3 x + \sqrt{3} \cos^2 x = \sqrt{3}$$ Сначала выразим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Получаем $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это в уравнение: $$2 \sin^3 x + \sqrt{3} (1 - \sin^2 x) = \sqrt{3}$$ $$2 \sin^3 x + \sqrt{3} - \sqrt{3} \sin^2 x = \sqrt{3}$$ $$2 \sin^3 x - \sqrt{3} \sin^2 x = 0$$ Теперь вынесем $\sin^2 x$ за скобки: $$\sin^2 x (2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$$ Это уравнение распадается на два случая: 1) $\sin^2 x = 0$, следовательно, $\sin x = 0$. Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n$ — целое число. 2) $2 \sin x - \sqrt{3} = 0$, следовательно, $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. б) Укажем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$ Чтобы найти корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$, нужно подставлять различные целые значения $n$ и $k$ в полученные решения и проверять, попадают ли они в заданный отрезок. Напомню, что $-\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi$, а $-2\pi = -2\pi$. 1) $x = \pi n$ - Если $n = -2$, то $x = -2\pi$. Этот корень принадлежит отрезку $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$. - Если $n = -3$, то $x = -3\pi$. Этот корень принадлежит отрезку $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$, так как $-3.5\pi \le -3\pi \le -2\pi$. 2) $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ - Если $k = -1$, то $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$, так как $-\frac{7\pi}{2} \approx -3.5\pi$, $-\frac{5\pi}{3} \approx -1.67\pi$, а $-3.5\pi \le -1.67\pi \le -2\pi$ неверно. - Если $k = -2$, то $x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$, так как $-\frac{7\pi}{2} \approx -3.5\pi$, $-\frac{11\pi}{3} \approx -3.67\pi$, а $-3.5\pi \le -3.67\pi \le -2\pi$ неверно. Значит, этот корень не подходит. 3) $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ - Если $k = -1$, то $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$, так как $-\frac{4\pi}{3} \approx -1.33\pi$, а $-3.5\pi \le -1.33\pi \le -2\pi$ неверно. - Если $k = -2$, то $x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$, так как $-\frac{7\pi}{2} \approx -3.5\pi$, $-\frac{10\pi}{3} \approx -3.33\pi$, и $-3.5\pi \le -3.33\pi \le -2\pi$. Это неверно, значит, корень не подходит. Таким образом, корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$: $-3\pi$ и $-2\pi$. Ответ: а) $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $n$ и $k$ — целые числа. б) $-3\pi$, $-2\pi$.